Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28025 / 14490
↖ ↑ ↗
← N 70.329835°
W 26.054077°		 ← 205.59 m → N 70.329835°
W 26.048584°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
N 70.327986°
W 26.054077°		 ← 205.61 m →
42 270 m²		 N 70.327986°
W 26.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427635192871094 y=0.221107482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427635192871094 × 216)
    floor (0.427635192871094 × 65536)
    floor (28025.5)     		tx = 28025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221107482910156 × 216)
    floor (0.221107482910156 × 65536)
    floor (14490.5)     		ty = 14490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28025 / 14490 ti = "16/28025/14490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28025/14490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28025 ÷ 216
    28025 ÷ 65536     		x = 0.427627563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14490 ÷ 216
    14490 ÷ 65536     		y = 0.221099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427627563476562 × 2 - 1) × π
    -0.144744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45472943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221099853515625 × 2 - 1) × π
    0.55780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75238130251077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45472943} λ = -0.45472943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75238130251077))-π/2
    2×atan(5.76832245479516)-π/2
    2×1.39914176055308-π/2
    2.79828352110616-1.57079632675     		φ = 1.22748719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45472943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.054077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22748719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.329835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28025 KachelY 14490 -0.45472943 1.22748719 -26.054077 70.329835
    Oben rechts KachelX + 1 28026 KachelY 14490 -0.45463356 1.22748719 -26.048584 70.329835
    Unten links KachelX 28025 KachelY + 1 14491 -0.45472943 1.22745492 -26.054077 70.327986
    Unten rechts KachelX + 1 28026 KachelY + 1 14491 -0.45463356 1.22745492 -26.048584 70.327986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22748719-1.22745492) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dl = 205.592169999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22748719-1.22745492) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dr = 205.592169999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45472943--0.45463356) × cos(1.22748719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336604964694836 × 6371000     		do = 205.594195756883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45472943--0.45463356) × cos(1.22745492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336635351434419 × 6371000     		du = 205.612755605791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22748719)-sin(1.22745492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336604964694836-0.336635351434419)×R²
    abs(-0.45463356--0.45472943)×3.03867395833324e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03867395833324e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03867395833324e-05×40589641000000     		ar = 42270.4647286848m²