Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28024 / 14487
↖ ↑ ↗
← N 70.335382°
W 26.059570°		 ← 205.54 m → N 70.335382°
W 26.054077°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
N 70.333533°
W 26.059570°		 ← 205.56 m →
42 259 m²		 N 70.333533°
W 26.054077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427619934082031 y=0.221061706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427619934082031 × 216)
    floor (0.427619934082031 × 65536)
    floor (28024.5)     		tx = 28024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221061706542969 × 216)
    floor (0.221061706542969 × 65536)
    floor (14487.5)     		ty = 14487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28024 / 14487 ti = "16/28024/14487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28024/14487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28024 ÷ 216
    28024 ÷ 65536     		x = 0.4276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14487 ÷ 216
    14487 ÷ 65536     		y = 0.221054077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45482530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221054077148438 × 2 - 1) × π
    0.557891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75266892390849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45482530} λ = -0.45482530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75266892390849))-π/2
    2×atan(5.76998178638031)-π/2
    2×1.39919016139296-π/2
    2.79838032278591-1.57079632675     		φ = 1.22758400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45482530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22758400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.335382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28024 KachelY 14487 -0.45482530 1.22758400 -26.059570 70.335382
    Oben rechts KachelX + 1 28025 KachelY 14487 -0.45472943 1.22758400 -26.054077 70.335382
    Unten links KachelX 28024 KachelY + 1 14488 -0.45482530 1.22755173 -26.059570 70.333533
    Unten rechts KachelX + 1 28025 KachelY + 1 14488 -0.45472943 1.22755173 -26.054077 70.333533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22758400-1.22755173) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dl = 205.592169999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22758400-1.22755173) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dr = 205.592169999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45482530--0.45472943) × cos(1.22758400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336513802373065 × 6371000     		do = 205.538514925661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45482530--0.45472943) × cos(1.22755173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336544190164127 × 6371000     		du = 205.557075416799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22758400)-sin(1.22755173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336513802373065-0.336544190164127)×R²
    abs(-0.45472943--0.45482530)×3.03877910620698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03877910620698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03877910620698e-05×40589641000000     		ar = 42259.0172518393m²