Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28023 / 22119
↖ ↑ ↗
← N 50.377000°
W 26.065064°		 ← 389.56 m → N 50.377000°
W 26.059570°		 →
↑
389.59 m
↓
↑
389.59 m
↓
N 50.373496°
W 26.065064°		 ← 389.59 m →
151 773 m²		 N 50.373496°
W 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427604675292969 y=0.337516784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427604675292969 × 216)
    floor (0.427604675292969 × 65536)
    floor (28023.5)     		tx = 28023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337516784667969 × 216)
    floor (0.337516784667969 × 65536)
    floor (22119.5)     		ty = 22119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28023 / 22119 ti = "16/28023/22119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28023/22119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28023 ÷ 216
    28023 ÷ 65536     		x = 0.427597045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22119 ÷ 216
    22119 ÷ 65536     		y = 0.337509155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427597045898438 × 2 - 1) × π
    -0.144805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45492118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337509155273438 × 2 - 1) × π
    0.324981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02096008810796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45492118} λ = -0.45492118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02096008810796))-π/2
    2×atan(2.77585855381009)-π/2
    2×1.2250204172011-π/2
    2.45004083440221-1.57079632675     		φ = 0.87924451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45492118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.065064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87924451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.377000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28023 KachelY 22119 -0.45492118 0.87924451 -26.065064 50.377000
    Oben rechts KachelX + 1 28024 KachelY 22119 -0.45482530 0.87924451 -26.059570 50.377000
    Unten links KachelX 28023 KachelY + 1 22120 -0.45492118 0.87918336 -26.065064 50.373496
    Unten rechts KachelX + 1 28024 KachelY + 1 22120 -0.45482530 0.87918336 -26.059570 50.373496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87924451-0.87918336) × R
    6.11500000000653e-05 × 6371000     		dl = 389.586650000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87924451-0.87918336) × R
    6.11500000000653e-05 × 6371000     		dr = 389.586650000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45492118--0.45482530) × cos(0.87924451) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.637733247826986 × 6371000     		do = 389.560298280291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45492118--0.45482530) × cos(0.87918336) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.637780347868364 × 6371000     		du = 389.589069410275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87924451)-sin(0.87918336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637733247826986-0.637780347868364)×R²
    abs(-0.45482530--0.45492118)×4.71000413780898e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71000413780898e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71000413780898e-05×40589641000000     		ar = 151773.096051536m²