Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28023 / 14486
↖ ↑ ↗
← N 70.337231°
W 26.065064°		 ← 205.54 m → N 70.337231°
W 26.059570°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
N 70.335382°
W 26.065064°		 ← 205.56 m →
42 247 m²		 N 70.335382°
W 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427604675292969 y=0.221046447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427604675292969 × 216)
    floor (0.427604675292969 × 65536)
    floor (28023.5)     		tx = 28023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221046447753906 × 216)
    floor (0.221046447753906 × 65536)
    floor (14486.5)     		ty = 14486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28023 / 14486 ti = "16/28023/14486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28023/14486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28023 ÷ 216
    28023 ÷ 65536     		x = 0.427597045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14486 ÷ 216
    14486 ÷ 65536     		y = 0.221038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427597045898438 × 2 - 1) × π
    -0.144805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45492118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221038818359375 × 2 - 1) × π
    0.55792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75276479770773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45492118} λ = -0.45492118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75276479770773))-π/2
    2×atan(5.77053500297478)-π/2
    2×1.39920629209333-π/2
    2.79841258418666-1.57079632675     		φ = 1.22761626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45492118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.065064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22761626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.337231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28023 KachelY 14486 -0.45492118 1.22761626 -26.065064 70.337231
    Oben rechts KachelX + 1 28024 KachelY 14486 -0.45482530 1.22761626 -26.059570 70.337231
    Unten links KachelX 28023 KachelY + 1 14487 -0.45492118 1.22758400 -26.065064 70.335382
    Unten rechts KachelX + 1 28024 KachelY + 1 14487 -0.45482530 1.22758400 -26.059570 70.335382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22761626-1.22758400) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22761626-1.22758400) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45492118--0.45482530) × cos(1.22761626) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.336483423648467 × 6371000     		do = 205.541397331118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45492118--0.45482530) × cos(1.22758400) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.336513802373065 × 6371000     		du = 205.559954219999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22761626)-sin(1.22758400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336483423648467-0.336513802373065)×R²
    abs(-0.45482530--0.45492118)×3.03787245977682e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.03787245977682e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.03787245977682e-05×40589641000000     		ar = 42246.5138474502m²