Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28022 / 43142
↖ ↑ ↗
← S 49.403824°
W 26.070557°		 ← 397.45 m → S 49.403824°
W 26.065064°		 →
↑
397.49 m
↓
↑
397.49 m
↓
S 49.407399°
W 26.070557°		 ← 397.43 m →
157 977 m²		 S 49.407399°
W 26.065064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427589416503906 y=0.658302307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427589416503906 × 216)
    floor (0.427589416503906 × 65536)
    floor (28022.5)     		tx = 28022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658302307128906 × 216)
    floor (0.658302307128906 × 65536)
    floor (43142.5)     		ty = 43142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28022 / 43142 ti = "16/28022/43142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28022/43142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28022 ÷ 216
    28022 ÷ 65536     		x = 0.427581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43142 ÷ 216
    43142 ÷ 65536     		y = 0.658294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.14483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45501705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.31658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.994594793316925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45501705} λ = -0.45501705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994594793316925))-π/2
    2×atan(0.369873289311678)-π/2
    2×0.354268461727669-π/2
    0.708536923455338-1.57079632675     		φ = -0.86225940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45501705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86225940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.403824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28022 KachelY 43142 -0.45501705 -0.86225940 -26.070557 -49.403824
    Oben rechts KachelX + 1 28023 KachelY 43142 -0.45492118 -0.86225940 -26.065064 -49.403824
    Unten links KachelX 28022 KachelY + 1 43143 -0.45501705 -0.86232179 -26.070557 -49.407399
    Unten rechts KachelX + 1 28023 KachelY + 1 43143 -0.45492118 -0.86232179 -26.065064 -49.407399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86225940--0.86232179) × R
    6.23899999999677e-05 × 6371000     		dl = 397.486689999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86225940--0.86232179) × R
    6.23899999999677e-05 × 6371000     		dr = 397.486689999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45501705--0.45492118) × cos(-0.86225940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65072353482476 × 6371000     		do = 397.453976722124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45501705--0.45492118) × cos(-0.86232179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650676159911406 × 6371000     		du = 397.425040704443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86225940)-sin(-0.86232179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65072353482476-0.650676159911406)×R²
    abs(-0.45492118--0.45501705)×4.73749133536039e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73749133536039e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73749133536039e-05×40589641000000     		ar = 157976.914844956m²