Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28022 / 14582
↖ ↑ ↗
← N 70.159017°
W 26.070557°		 ← 207.31 m → N 70.159017°
W 26.065064°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
N 70.157153°
W 26.070557°		 ← 207.33 m →
42 979 m²		 N 70.157153°
W 26.065064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427589416503906 y=0.222511291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427589416503906 × 216)
    floor (0.427589416503906 × 65536)
    floor (28022.5)     		tx = 28022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222511291503906 × 216)
    floor (0.222511291503906 × 65536)
    floor (14582.5)     		ty = 14582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28022 / 14582 ti = "16/28022/14582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28022/14582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28022 ÷ 216
    28022 ÷ 65536     		x = 0.427581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14582 ÷ 216
    14582 ÷ 65536     		y = 0.222503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.14483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45501705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222503662109375 × 2 - 1) × π
    0.55499267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74356091298068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45501705} λ = -0.45501705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74356091298068))-π/2
    2×atan(5.71766733118024)-π/2
    2×1.39765108735144-π/2
    2.79530217470288-1.57079632675     		φ = 1.22450585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45501705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22450585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.159017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28022 KachelY 14582 -0.45501705 1.22450585 -26.070557 70.159017
    Oben rechts KachelX + 1 28023 KachelY 14582 -0.45492118 1.22450585 -26.065064 70.159017
    Unten links KachelX 28022 KachelY + 1 14583 -0.45501705 1.22447331 -26.070557 70.157153
    Unten rechts KachelX + 1 28023 KachelY + 1 14583 -0.45492118 1.22447331 -26.065064 70.157153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22450585-1.22447331) × R
    3.25399999998588e-05 × 6371000     		dl = 207.3123399991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22450585-1.22447331) × R
    3.25399999998588e-05 × 6371000     		dr = 207.3123399991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45501705--0.45492118) × cos(1.22450585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339410831339996 × 6371000     		do = 207.307984787998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45501705--0.45492118) × cos(1.22447331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339441439528438 × 6371000     		du = 207.32667989516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22450585)-sin(1.22447331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339410831339996-0.339441439528438)×R²
    abs(-0.45492118--0.45501705)×3.06081884412501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06081884412501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06081884412501e-05×40589641000000     		ar = 42979.4412935943m²