Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28021 / 22133
↖ ↑ ↗
← N 50.327930°
W 26.076050°		 ← 389.92 m → N 50.327930°
W 26.070557°		 →
↑
389.97 m
↓
↑
389.97 m
↓
N 50.324423°
W 26.076050°		 ← 389.95 m →
152 063 m²		 N 50.324423°
W 26.070557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427574157714844 y=0.337730407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427574157714844 × 216)
    floor (0.427574157714844 × 65536)
    floor (28021.5)     		tx = 28021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337730407714844 × 216)
    floor (0.337730407714844 × 65536)
    floor (22133.5)     		ty = 22133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28021 / 22133 ti = "16/28021/22133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28021/22133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28021 ÷ 216
    28021 ÷ 65536     		x = 0.427566528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22133 ÷ 216
    22133 ÷ 65536     		y = 0.337722778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427566528320312 × 2 - 1) × π
    -0.144866943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45511292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337722778320312 × 2 - 1) × π
    0.324554443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01961785491859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45511292} λ = -0.45511292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01961785491859))-π/2
    2×atan(2.77213520369124)-π/2
    2×1.22459220256668-π/2
    2.44918440513335-1.57079632675     		φ = 0.87838808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45511292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.076050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87838808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.327930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28021 KachelY 22133 -0.45511292 0.87838808 -26.076050 50.327930
    Oben rechts KachelX + 1 28022 KachelY 22133 -0.45501705 0.87838808 -26.070557 50.327930
    Unten links KachelX 28021 KachelY + 1 22134 -0.45511292 0.87832687 -26.076050 50.324423
    Unten rechts KachelX + 1 28022 KachelY + 1 22134 -0.45501705 0.87832687 -26.070557 50.324423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87838808-0.87832687) × R
    6.12100000000337e-05 × 6371000     		dl = 389.968910000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87838808-0.87832687) × R
    6.12100000000337e-05 × 6371000     		dr = 389.968910000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45511292--0.45501705) × cos(0.87838808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638392685323953 × 6371000     		do = 389.92244465332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45511292--0.45501705) × cos(0.87832687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638439798128602 × 6371000     		du = 389.951220578211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87838808)-sin(0.87832687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638392685323953-0.638439798128602)×R²
    abs(-0.45501705--0.45511292)×4.71128046495295e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71128046495295e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71128046495295e-05×40589641000000     		ar = 152063.241631768m²