Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28020 / 22118
↖ ↑ ↗
← N 50.380503°
W 26.081543°		 ← 389.53 m → N 50.380503°
W 26.076050°		 →
↑
389.52 m
↓
↑
389.52 m
↓
N 50.377000°
W 26.081543°		 ← 389.56 m →
151 737 m²		 N 50.377000°
W 26.076050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427558898925781 y=0.337501525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427558898925781 × 216)
    floor (0.427558898925781 × 65536)
    floor (28020.5)     		tx = 28020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337501525878906 × 216)
    floor (0.337501525878906 × 65536)
    floor (22118.5)     		ty = 22118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28020 / 22118 ti = "16/28020/22118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28020/22118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28020 ÷ 216
    28020 ÷ 65536     		x = 0.42755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22118 ÷ 216
    22118 ÷ 65536     		y = 0.337493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.1448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45520880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337493896484375 × 2 - 1) × π
    0.32501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0210559619072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45520880} λ = -0.45520880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0210559619072))-π/2
    2×atan(2.77612469867375)-π/2
    2×1.22505098702709-π/2
    2.45010197405418-1.57079632675     		φ = 0.87930565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45520880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87930565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.380503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28020 KachelY 22118 -0.45520880 0.87930565 -26.081543 50.380503
    Oben rechts KachelX + 1 28021 KachelY 22118 -0.45511292 0.87930565 -26.076050 50.380503
    Unten links KachelX 28020 KachelY + 1 22119 -0.45520880 0.87924451 -26.081543 50.377000
    Unten rechts KachelX + 1 28021 KachelY + 1 22119 -0.45511292 0.87924451 -26.076050 50.377000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87930565-0.87924451) × R
    6.11400000000151e-05 × 6371000     		dl = 389.522940000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87930565-0.87924451) × R
    6.11400000000151e-05 × 6371000     		dr = 389.522940000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45520880--0.45511292) × cos(0.87930565) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.63768615310388 × 6371000     		do = 389.531530399207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45520880--0.45511292) × cos(0.87924451) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.637733247826986 × 6371000     		du = 389.560298280517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87930565)-sin(0.87924451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63768615310388-0.637733247826986)×R²
    abs(-0.45511292--0.45520880)×4.70947231054897e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70947231054897e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70947231054897e-05×40589641000000     		ar = 151737.069865919m²