Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28019 / 7001
↖ ↑ ↗
← N 80.333964°
W 26.087036°		 ← 102.55 m → N 80.333964°
W 26.081543°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
N 80.333042°
W 26.087036°		 ← 102.56 m →
10 520 m²		 N 80.333042°
W 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427543640136719 y=0.106834411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427543640136719 × 216)
    floor (0.427543640136719 × 65536)
    floor (28019.5)     		tx = 28019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106834411621094 × 216)
    floor (0.106834411621094 × 65536)
    floor (7001.5)     		ty = 7001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28019 / 7001 ti = "16/28019/7001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28019/7001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28019 ÷ 216
    28019 ÷ 65536     		x = 0.427536010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7001 ÷ 216
    7001 ÷ 65536     		y = 0.106826782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427536010742188 × 2 - 1) × π
    -0.144927978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45530467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106826782226562 × 2 - 1) × π
    0.786346435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47038018501997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45530467} λ = -0.45530467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47038018501997))-π/2
    2×atan(11.8269424233592)-π/2
    2×1.48644425327972-π/2
    2.97288850655944-1.57079632675     		φ = 1.40209218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45530467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.087036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40209218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.333964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28019 KachelY 7001 -0.45530467 1.40209218 -26.087036 80.333964
    Oben rechts KachelX + 1 28020 KachelY 7001 -0.45520880 1.40209218 -26.081543 80.333964
    Unten links KachelX 28019 KachelY + 1 7002 -0.45530467 1.40207608 -26.087036 80.333042
    Unten rechts KachelX + 1 28020 KachelY + 1 7002 -0.45520880 1.40207608 -26.081543 80.333042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40209218-1.40207608) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dl = 102.573099999059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40209218-1.40207608) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dr = 102.573099999059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45530467--0.45520880) × cos(1.40209218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167905034196855 × 6371000     		do = 102.554341408869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45530467--0.45520880) × cos(1.40207608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167920905606208 × 6371000     		du = 102.564035471594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40209218)-sin(1.40207608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167905034196855-0.167920905606208)×R²
    abs(-0.45520880--0.45530467)×1.5871409352497e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5871409352497e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5871409352497e-05×40589641000000     		ar = 10519.8138920274m²