Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28019 / 21812
↖ ↑ ↗
← N 51.440313°
W 26.087036°		 ← 380.72 m → N 51.440313°
W 26.081543°		 →
↑
380.79 m
↓
↑
380.79 m
↓
N 51.436888°
W 26.087036°		 ← 380.75 m →
144 982 m²		 N 51.436888°
W 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427543640136719 y=0.332832336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427543640136719 × 216)
    floor (0.427543640136719 × 65536)
    floor (28019.5)     		tx = 28019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332832336425781 × 216)
    floor (0.332832336425781 × 65536)
    floor (21812.5)     		ty = 21812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28019 / 21812 ti = "16/28019/21812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28019/21812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28019 ÷ 216
    28019 ÷ 65536     		x = 0.427536010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21812 ÷ 216
    21812 ÷ 65536     		y = 0.33282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427536010742188 × 2 - 1) × π
    -0.144927978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45530467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33282470703125 × 2 - 1) × π
    0.3343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05039334447467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45530467} λ = -0.45530467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05039334447467))-π/2
    2×atan(2.85877538043769)-π/2
    2×1.23429957632213-π/2
    2.46859915264427-1.57079632675     		φ = 0.89780283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45530467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.087036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89780283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.440313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28019 KachelY 21812 -0.45530467 0.89780283 -26.087036 51.440313
    Oben rechts KachelX + 1 28020 KachelY 21812 -0.45520880 0.89780283 -26.081543 51.440313
    Unten links KachelX 28019 KachelY + 1 21813 -0.45530467 0.89774306 -26.087036 51.436888
    Unten rechts KachelX + 1 28020 KachelY + 1 21813 -0.45520880 0.89774306 -26.081543 51.436888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89780283-0.89774306) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dl = 380.794670000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89780283-0.89774306) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dr = 380.794670000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45530467--0.45520880) × cos(0.89780283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623329568844039 × 6371000     		do = 380.722077329304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45530467--0.45520880) × cos(0.89774306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62337630543421 × 6371000     		du = 380.750623466992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89780283)-sin(0.89774306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623329568844039-0.62337630543421)×R²
    abs(-0.45520880--0.45530467)×4.67365901704042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67365901704042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67365901704042e-05×40589641000000     		ar = 144982.372949674m²