Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28018 / 6820
↖ ↑ ↗
← N 80.499486°
W 26.092530°		 ← 100.82 m → N 80.499486°
W 26.087036°		 →
↑
100.85 m
↓
↑
100.85 m
↓
N 80.498579°
W 26.092530°		 ← 100.83 m →
10 169 m²		 N 80.498579°
W 26.087036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427528381347656 y=0.104072570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427528381347656 × 216)
    floor (0.427528381347656 × 65536)
    floor (28018.5)     		tx = 28018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104072570800781 × 216)
    floor (0.104072570800781 × 65536)
    floor (6820.5)     		ty = 6820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28018 / 6820 ti = "16/28018/6820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28018/6820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28018 ÷ 216
    28018 ÷ 65536     		x = 0.427520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6820 ÷ 216
    6820 ÷ 65536     		y = 0.10406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.14495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45540055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10406494140625 × 2 - 1) × π
    0.7918701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48773334268243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45540055} λ = -0.45540055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48773334268243))-π/2
    2×atan(12.0339683010931)-π/2
    2×1.48788870233752-π/2
    2.97577740467504-1.57079632675     		φ = 1.40498108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45540055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.092530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40498108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.499486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28018 KachelY 6820 -0.45540055 1.40498108 -26.092530 80.499486
    Oben rechts KachelX + 1 28019 KachelY 6820 -0.45530467 1.40498108 -26.087036 80.499486
    Unten links KachelX 28018 KachelY + 1 6821 -0.45540055 1.40496525 -26.092530 80.498579
    Unten rechts KachelX + 1 28019 KachelY + 1 6821 -0.45530467 1.40496525 -26.087036 80.498579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40498108-1.40496525) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dl = 100.852929999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40498108-1.40496525) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dr = 100.852929999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45540055--0.45530467) × cos(1.40498108) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.165056450720733 × 6371000     		do = 100.824977206299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45540055--0.45530467) × cos(1.40496525) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.165072063577693 × 6371000     		du = 100.83451434308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40498108)-sin(1.40496525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165056450720733-0.165072063577693)×R²
    abs(-0.45530467--0.45540055)×1.56128569600011e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.56128569600011e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.56128569600011e-05×40589641000000     		ar = 10168.9752927556m²