Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28017 / 14767
↖ ↑ ↗
← N 69.811204°
W 26.098022°		 ← 210.79 m → N 69.811204°
W 26.092530°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
N 69.809309°
W 26.098022°		 ← 210.81 m →
44 427 m²		 N 69.809309°
W 26.092530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427513122558594 y=0.225334167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427513122558594 × 216)
    floor (0.427513122558594 × 65536)
    floor (28017.5)     		tx = 28017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225334167480469 × 216)
    floor (0.225334167480469 × 65536)
    floor (14767.5)     		ty = 14767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28017 / 14767 ti = "16/28017/14767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28017/14767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28017 ÷ 216
    28017 ÷ 65536     		x = 0.427505493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14767 ÷ 216
    14767 ÷ 65536     		y = 0.225326538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427505493164062 × 2 - 1) × π
    -0.144989013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45549642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225326538085938 × 2 - 1) × π
    0.549346923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72582426012126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45549642} λ = -0.45549642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72582426012126))-π/2
    2×atan(5.61714911406834)-π/2
    2×1.39461585049928-π/2
    2.78923170099856-1.57079632675     		φ = 1.21843537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45549642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.098022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21843537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.811204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28017 KachelY 14767 -0.45549642 1.21843537 -26.098022 69.811204
    Oben rechts KachelX + 1 28018 KachelY 14767 -0.45540055 1.21843537 -26.092530 69.811204
    Unten links KachelX 28017 KachelY + 1 14768 -0.45549642 1.21840229 -26.098022 69.809309
    Unten rechts KachelX + 1 28018 KachelY + 1 14768 -0.45540055 1.21840229 -26.092530 69.809309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21843537-1.21840229) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dl = 210.752679999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21843537-1.21840229) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dr = 210.752679999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45549642--0.45540055) × cos(1.21843537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34511466810859 × 6371000     		do = 210.791818528331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45549642--0.45540055) × cos(1.21840229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345145715502044 × 6371000     		du = 210.810781896543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21843537)-sin(1.21840229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34511466810859-0.345145715502044)×R²
    abs(-0.45540055--0.45549642)×3.10473934533873e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10473934533873e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10473934533873e-05×40589641000000     		ar = 44426.9389710187m²