Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28016 / 21821
↖ ↑ ↗
← N 51.409486°
W 26.103515°		 ← 380.98 m → N 51.409486°
W 26.098022°		 →
↑
381.05 m
↓
↑
381.05 m
↓
N 51.406059°
W 26.103515°		 ← 381.01 m →
145 177 m²		 N 51.406059°
W 26.098022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427497863769531 y=0.332969665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427497863769531 × 216)
    floor (0.427497863769531 × 65536)
    floor (28016.5)     		tx = 28016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332969665527344 × 216)
    floor (0.332969665527344 × 65536)
    floor (21821.5)     		ty = 21821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28016 / 21821 ti = "16/28016/21821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28016/21821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28016 ÷ 216
    28016 ÷ 65536     		x = 0.427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21821 ÷ 216
    21821 ÷ 65536     		y = 0.332962036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332962036132812 × 2 - 1) × π
    0.334075927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04953048028151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45559229} λ = -0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04953048028151))-π/2
    2×atan(2.85630970944821)-π/2
    2×1.2340305612056-π/2
    2.46806112241121-1.57079632675     		φ = 0.89726480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89726480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.409486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28016 KachelY 21821 -0.45559229 0.89726480 -26.103515 51.409486
    Oben rechts KachelX + 1 28017 KachelY 21821 -0.45549642 0.89726480 -26.098022 51.409486
    Unten links KachelX 28016 KachelY + 1 21822 -0.45559229 0.89720499 -26.103515 51.406059
    Unten rechts KachelX + 1 28017 KachelY + 1 21822 -0.45549642 0.89720499 -26.098022 51.406059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89726480-0.89720499) × R
    5.98099999999935e-05 × 6371000     		dl = 381.049509999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89726480-0.89720499) × R
    5.98099999999935e-05 × 6371000     		dr = 381.049509999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45559229--0.45549642) × cos(0.89726480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623750196132559 × 6371000     		do = 380.97899133286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45559229--0.45549642) × cos(0.89720499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623796943933607 × 6371000     		du = 381.007544318015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89726480)-sin(0.89720499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623750196132559-0.623796943933607)×R²
    abs(-0.45549642--0.45559229)×4.67478010482969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67478010482969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67478010482969e-05×40589641000000     		ar = 145177.298061353m²