Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28016 / 14768
↖ ↑ ↗
← N 69.809309°
W 26.103515°		 ← 210.81 m → N 69.809309°
W 26.098022°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
N 69.807412°
W 26.103515°		 ← 210.83 m →
44 458 m²		 N 69.807412°
W 26.098022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427497863769531 y=0.225349426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427497863769531 × 216)
    floor (0.427497863769531 × 65536)
    floor (28016.5)     		tx = 28016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225349426269531 × 216)
    floor (0.225349426269531 × 65536)
    floor (14768.5)     		ty = 14768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28016 / 14768 ti = "16/28016/14768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28016/14768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28016 ÷ 216
    28016 ÷ 65536     		x = 0.427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14768 ÷ 216
    14768 ÷ 65536     		y = 0.225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225341796875 × 2 - 1) × π
    0.54931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72572838632202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45559229} λ = -0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72572838632202))-π/2
    2×atan(5.61661060245687)-π/2
    2×1.39459930602792-π/2
    2.78919861205584-1.57079632675     		φ = 1.21840229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21840229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.809309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28016 KachelY 14768 -0.45559229 1.21840229 -26.103515 69.809309
    Oben rechts KachelX + 1 28017 KachelY 14768 -0.45549642 1.21840229 -26.098022 69.809309
    Unten links KachelX 28016 KachelY + 1 14769 -0.45559229 1.21836919 -26.103515 69.807412
    Unten rechts KachelX + 1 28017 KachelY + 1 14769 -0.45549642 1.21836919 -26.098022 69.807412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21840229-1.21836919) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21840229-1.21836919) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45559229--0.45549642) × cos(1.21840229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345145715502044 × 6371000     		do = 210.810781896543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45559229--0.45549642) × cos(1.21836919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345176781288563 × 6371000     		du = 210.829756499014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21840229)-sin(1.21836919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345145715502044-0.345176781288563)×R²
    abs(-0.45549642--0.45559229)×3.10657865190134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10657865190134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10657865190134e-05×40589641000000     		ar = 44457.7994546816m²