Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28015 / 9569
↖ ↑ ↗
← N 77.654171°
W 26.109009°		 ← 130.61 m → N 77.654171°
W 26.103515°		 →
↑
130.61 m
↓
↑
130.61 m
↓
N 77.652997°
W 26.109009°		 ← 130.62 m →
17 059 m²		 N 77.652997°
W 26.103515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427482604980469 y=0.146018981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427482604980469 × 216)
    floor (0.427482604980469 × 65536)
    floor (28015.5)     		tx = 28015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146018981933594 × 216)
    floor (0.146018981933594 × 65536)
    floor (9569.5)     		ty = 9569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28015 / 9569 ti = "16/28015/9569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28015/9569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28015 ÷ 216
    28015 ÷ 65536     		x = 0.427474975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9569 ÷ 216
    9569 ÷ 65536     		y = 0.146011352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.145050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45568817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146011352539062 × 2 - 1) × π
    0.707977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22417626857137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45568817} λ = -0.45568817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22417626857137))-π/2
    2×atan(9.24586355783404)-π/2
    2×1.46305864921725-π/2
    2.9261172984345-1.57079632675     		φ = 1.35532097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45568817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.109009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35532097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.654171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28015 KachelY 9569 -0.45568817 1.35532097 -26.109009 77.654171
    Oben rechts KachelX + 1 28016 KachelY 9569 -0.45559229 1.35532097 -26.103515 77.654171
    Unten links KachelX 28015 KachelY + 1 9570 -0.45568817 1.35530047 -26.109009 77.652997
    Unten rechts KachelX + 1 28016 KachelY + 1 9570 -0.45559229 1.35530047 -26.103515 77.652997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35532097-1.35530047) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dl = 130.605499999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35532097-1.35530047) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dr = 130.605499999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45568817--0.45559229) × cos(1.35532097) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.213811816546305 × 6371000     		do = 130.607264578789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45568817--0.45559229) × cos(1.35530047) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.213831842436163 × 6371000     		du = 130.619497423247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35532097)-sin(1.35530047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213811816546305-0.213831842436163)×R²
    abs(-0.45559229--0.45568817)×2.00258898588046e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.00258898588046e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.00258898588046e-05×40589641000000     		ar = 17058.825932572m²