Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28015 / 6824
↖ ↑ ↗
← N 80.495859°
W 26.109009°		 ← 100.86 m → N 80.495859°
W 26.103515°		 →
↑
100.85 m
↓
↑
100.85 m
↓
N 80.494952°
W 26.109009°		 ← 100.87 m →
10 173 m²		 N 80.494952°
W 26.103515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427482604980469 y=0.104133605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427482604980469 × 216)
    floor (0.427482604980469 × 65536)
    floor (28015.5)     		tx = 28015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104133605957031 × 216)
    floor (0.104133605957031 × 65536)
    floor (6824.5)     		ty = 6824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28015 / 6824 ti = "16/28015/6824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28015/6824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28015 ÷ 216
    28015 ÷ 65536     		x = 0.427474975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6824 ÷ 216
    6824 ÷ 65536     		y = 0.1041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.145050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45568817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1041259765625 × 2 - 1) × π
    0.791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48734984748547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45568817} λ = -0.45568817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48734984748547))-π/2
    2×atan(12.0293542168454)-π/2
    2×1.48785704717293-π/2
    2.97571409434586-1.57079632675     		φ = 1.40491777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45568817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.109009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40491777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.495859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28015 KachelY 6824 -0.45568817 1.40491777 -26.109009 80.495859
    Oben rechts KachelX + 1 28016 KachelY 6824 -0.45559229 1.40491777 -26.103515 80.495859
    Unten links KachelX 28015 KachelY + 1 6825 -0.45568817 1.40490194 -26.109009 80.494952
    Unten rechts KachelX + 1 28016 KachelY + 1 6825 -0.45559229 1.40490194 -26.103515 80.494952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40491777-1.40490194) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dl = 100.852929999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40491777-1.40490194) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dr = 100.852929999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45568817--0.45559229) × cos(1.40491777) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.16511889203763 × 6371000     		do = 100.863119577139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45568817--0.45559229) × cos(1.40490194) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.165134504729132 × 6371000     		du = 100.872656612849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40491777)-sin(1.40490194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16511889203763-0.165134504729132)×R²
    abs(-0.45559229--0.45568817)×1.56126915017429e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.56126915017429e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.56126915017429e-05×40589641000000     		ar = 10172.822057214m²