Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28015 / 6823
↖ ↑ ↗
← N 80.496766°
W 26.109009°		 ← 100.85 m → N 80.496766°
W 26.103515°		 →
↑
100.85 m
↓
↑
100.85 m
↓
N 80.495859°
W 26.109009°		 ← 100.86 m →
10 172 m²		 N 80.495859°
W 26.103515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427482604980469 y=0.104118347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427482604980469 × 216)
    floor (0.427482604980469 × 65536)
    floor (28015.5)     		tx = 28015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104118347167969 × 216)
    floor (0.104118347167969 × 65536)
    floor (6823.5)     		ty = 6823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28015 / 6823 ti = "16/28015/6823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28015/6823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28015 ÷ 216
    28015 ÷ 65536     		x = 0.427474975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6823 ÷ 216
    6823 ÷ 65536     		y = 0.104110717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.145050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45568817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104110717773438 × 2 - 1) × π
    0.791778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48744572128471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45568817} λ = -0.45568817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48744572128471))-π/2
    2×atan(12.0305075720239)-π/2
    2×1.48786496208658-π/2
    2.97572992417317-1.57079632675     		φ = 1.40493360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45568817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.109009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40493360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.496766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28015 KachelY 6823 -0.45568817 1.40493360 -26.109009 80.496766
    Oben rechts KachelX + 1 28016 KachelY 6823 -0.45559229 1.40493360 -26.103515 80.496766
    Unten links KachelX 28015 KachelY + 1 6824 -0.45568817 1.40491777 -26.109009 80.495859
    Unten rechts KachelX + 1 28016 KachelY + 1 6824 -0.45559229 1.40491777 -26.103515 80.495859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40493360-1.40491777) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dl = 100.852929999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40493360-1.40491777) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dr = 100.852929999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45568817--0.45559229) × cos(1.40493360) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.165103279304751 × 6371000     		do = 100.853582516153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45568817--0.45559229) × cos(1.40491777) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.16511889203763 × 6371000     		du = 100.863119577139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40493360)-sin(1.40491777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165103279304751-0.16511889203763)×R²
    abs(-0.45559229--0.45568817)×1.56127328787281e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.56127328787281e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.56127328787281e-05×40589641000000     		ar = 10171.8602181156m²