Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28015 / 14765
↖ ↑ ↗
← N 69.814996°
W 26.109009°		 ← 210.78 m → N 69.814996°
W 26.103515°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
N 69.813100°
W 26.109009°		 ← 210.79 m →
44 424 m²		 N 69.813100°
W 26.103515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427482604980469 y=0.225303649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427482604980469 × 216)
    floor (0.427482604980469 × 65536)
    floor (28015.5)     		tx = 28015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225303649902344 × 216)
    floor (0.225303649902344 × 65536)
    floor (14765.5)     		ty = 14765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28015 / 14765 ti = "16/28015/14765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28015/14765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28015 ÷ 216
    28015 ÷ 65536     		x = 0.427474975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14765 ÷ 216
    14765 ÷ 65536     		y = 0.225296020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.145050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45568817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225296020507812 × 2 - 1) × π
    0.549407958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72601600771974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45568817} λ = -0.45568817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72601600771974))-π/2
    2×atan(5.61822629219113)-π/2
    2×1.39464893497614-π/2
    2.78929786995229-1.57079632675     		φ = 1.21850154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45568817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.109009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21850154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.814996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28015 KachelY 14765 -0.45568817 1.21850154 -26.109009 69.814996
    Oben rechts KachelX + 1 28016 KachelY 14765 -0.45559229 1.21850154 -26.103515 69.814996
    Unten links KachelX 28015 KachelY + 1 14766 -0.45568817 1.21846846 -26.109009 69.813100
    Unten rechts KachelX + 1 28016 KachelY + 1 14766 -0.45559229 1.21846846 -26.103515 69.813100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21850154-1.21846846) × R
    3.30800000001297e-05 × 6371000     		dl = 210.752680000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21850154-1.21846846) × R
    3.30800000001297e-05 × 6371000     		dr = 210.752680000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45568817--0.45559229) × cos(1.21850154) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345052562802921 × 6371000     		do = 210.775868665941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45568817--0.45559229) × cos(1.21846846) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345083610951763 × 6371000     		du = 210.794834473612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21850154)-sin(1.21846846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345052562802921-0.345083610951763)×R²
    abs(-0.45559229--0.45568817)×3.10481488423053e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10481488423053e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10481488423053e-05×40589641000000     		ar = 44423.5777524967m²