Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28014 / 6827
↖ ↑ ↗
← N 80.493137°
W 26.114502°		 ← 100.88 m → N 80.493137°
W 26.109009°		 →
↑
100.92 m
↓
↑
100.92 m
↓
N 80.492230°
W 26.114502°		 ← 100.89 m →
10 181 m²		 N 80.492230°
W 26.109009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427467346191406 y=0.104179382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427467346191406 × 216)
    floor (0.427467346191406 × 65536)
    floor (28014.5)     		tx = 28014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104179382324219 × 216)
    floor (0.104179382324219 × 65536)
    floor (6827.5)     		ty = 6827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28014 / 6827 ti = "16/28014/6827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28014/6827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28014 ÷ 216
    28014 ÷ 65536     		x = 0.427459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6827 ÷ 216
    6827 ÷ 65536     		y = 0.104171752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.14508056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45578404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104171752929688 × 2 - 1) × π
    0.791656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48706222608775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45578404} λ = -0.45578404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48706222608775))-π/2
    2×atan(12.0258948146947)-π/2
    2×1.48783329794098-π/2
    2.97566659588196-1.57079632675     		φ = 1.40487027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45578404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.114502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40487027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.493137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28014 KachelY 6827 -0.45578404 1.40487027 -26.114502 80.493137
    Oben rechts KachelX + 1 28015 KachelY 6827 -0.45568817 1.40487027 -26.109009 80.493137
    Unten links KachelX 28014 KachelY + 1 6828 -0.45578404 1.40485443 -26.114502 80.492230
    Unten rechts KachelX + 1 28015 KachelY + 1 6828 -0.45568817 1.40485443 -26.109009 80.492230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40487027-1.40485443) × R
    1.58399999998782e-05 × 6371000     		dl = 100.916639999224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40487027-1.40485443) × R
    1.58399999998782e-05 × 6371000     		dr = 100.916639999224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45578404--0.45568817) × cos(1.40487027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165165739850647 × 6371000     		do = 100.881213923775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45578404--0.45568817) × cos(1.40485443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1651813622806 × 6371000     		du = 100.890755912928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40487027)-sin(1.40485443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165165739850647-0.1651813622806)×R²
    abs(-0.45568817--0.45578404)×1.56224299532881e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56224299532881e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56224299532881e-05×40589641000000     		ar = 10181.0746213922m²