Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28014 / 21819
↖ ↑ ↗
← N 51.416338°
W 26.114502°		 ← 380.92 m → N 51.416338°
W 26.109009°		 →
↑
380.99 m
↓
↑
380.99 m
↓
N 51.412912°
W 26.114502°		 ← 380.95 m →
145 131 m²		 N 51.412912°
W 26.109009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427467346191406 y=0.332939147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427467346191406 × 216)
    floor (0.427467346191406 × 65536)
    floor (28014.5)     		tx = 28014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332939147949219 × 216)
    floor (0.332939147949219 × 65536)
    floor (21819.5)     		ty = 21819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28014 / 21819 ti = "16/28014/21819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28014/21819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28014 ÷ 216
    28014 ÷ 65536     		x = 0.427459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21819 ÷ 216
    21819 ÷ 65536     		y = 0.332931518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.14508056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45578404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332931518554688 × 2 - 1) × π
    0.334136962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04972222787999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45578404} λ = -0.45578404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04972222787999))-π/2
    2×atan(2.85685745248804)-π/2
    2×1.23409035802575-π/2
    2.4681807160515-1.57079632675     		φ = 0.89738439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45578404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.114502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89738439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.416338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28014 KachelY 21819 -0.45578404 0.89738439 -26.114502 51.416338
    Oben rechts KachelX + 1 28015 KachelY 21819 -0.45568817 0.89738439 -26.109009 51.416338
    Unten links KachelX 28014 KachelY + 1 21820 -0.45578404 0.89732459 -26.114502 51.412912
    Unten rechts KachelX + 1 28015 KachelY + 1 21820 -0.45568817 0.89732459 -26.109009 51.412912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89738439-0.89732459) × R
    5.98000000000543e-05 × 6371000     		dl = 380.985800000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89738439-0.89732459) × R
    5.98000000000543e-05 × 6371000     		dr = 380.985800000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45578404--0.45568817) × cos(0.89738439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623656717287675 × 6371000     		do = 380.921895597651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45578404--0.45568817) × cos(0.89732459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62370346173343 × 6371000     		du = 380.950446533434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89738439)-sin(0.89732459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623656717287675-0.62370346173343)×R²
    abs(-0.45568817--0.45578404)×4.67444457550314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67444457550314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67444457550314e-05×40589641000000     		ar = 145131.271926112m²