Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28013 / 14780
↖ ↑ ↗
← N 69.786545°
W 26.119995°		 ← 211.06 m → N 69.786545°
W 26.114502°		 →
↑
211.07 m
↓
↑
211.07 m
↓
N 69.784647°
W 26.119995°		 ← 211.08 m →
44 551 m²		 N 69.784647°
W 26.114502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427452087402344 y=0.225532531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427452087402344 × 216)
    floor (0.427452087402344 × 65536)
    floor (28013.5)     		tx = 28013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225532531738281 × 216)
    floor (0.225532531738281 × 65536)
    floor (14780.5)     		ty = 14780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28013 / 14780 ti = "16/28013/14780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28013/14780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28013 ÷ 216
    28013 ÷ 65536     		x = 0.427444458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14780 ÷ 216
    14780 ÷ 65536     		y = 0.22552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427444458007812 × 2 - 1) × π
    -0.145111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45587992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22552490234375 × 2 - 1) × π
    0.5489501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72457790073114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45587992} λ = -0.45587992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72457790073114))-π/2
    2×atan(5.61015248858496)-π/2
    2×1.3944006562139-π/2
    2.7888013124278-1.57079632675     		φ = 1.21800499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45587992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.119995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21800499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.786545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28013 KachelY 14780 -0.45587992 1.21800499 -26.119995 69.786545
    Oben rechts KachelX + 1 28014 KachelY 14780 -0.45578404 1.21800499 -26.114502 69.786545
    Unten links KachelX 28013 KachelY + 1 14781 -0.45587992 1.21797186 -26.119995 69.784647
    Unten rechts KachelX + 1 28014 KachelY + 1 14781 -0.45578404 1.21797186 -26.114502 69.784647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21800499-1.21797186) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dl = 211.071230000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21800499-1.21797186) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dr = 211.071230000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45587992--0.45578404) × cos(1.21800499) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345518573814154 × 6371000     		do = 211.060532181849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45587992--0.45578404) × cos(1.21797186) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345549663211148 × 6371000     		du = 211.079523186015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21800499)-sin(1.21797186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345518573814154-0.345549663211148)×R²
    abs(-0.45578404--0.45587992)×3.10893969935333e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10893969935333e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10893969935333e-05×40589641000000     		ar = 44550.8103632597m²