Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28013 / 14766
↖ ↑ ↗
← N 69.813100°
W 26.119995°		 ← 210.79 m → N 69.813100°
W 26.114502°		 →
↑
210.82 m
↓
↑
210.82 m
↓
N 69.811204°
W 26.119995°		 ← 210.81 m →
44 441 m²		 N 69.811204°
W 26.114502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427452087402344 y=0.225318908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427452087402344 × 216)
    floor (0.427452087402344 × 65536)
    floor (28013.5)     		tx = 28013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225318908691406 × 216)
    floor (0.225318908691406 × 65536)
    floor (14766.5)     		ty = 14766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28013 / 14766 ti = "16/28013/14766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28013/14766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28013 ÷ 216
    28013 ÷ 65536     		x = 0.427444458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14766 ÷ 216
    14766 ÷ 65536     		y = 0.225311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427444458007812 × 2 - 1) × π
    -0.145111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45587992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225311279296875 × 2 - 1) × π
    0.54937744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7259201339205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45587992} λ = -0.45587992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7259201339205))-π/2
    2×atan(5.61768767731144)-π/2
    2×1.39463239348198-π/2
    2.78926478696397-1.57079632675     		φ = 1.21846846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45587992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.119995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21846846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.813100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28013 KachelY 14766 -0.45587992 1.21846846 -26.119995 69.813100
    Oben rechts KachelX + 1 28014 KachelY 14766 -0.45578404 1.21846846 -26.114502 69.813100
    Unten links KachelX 28013 KachelY + 1 14767 -0.45587992 1.21843537 -26.119995 69.811204
    Unten rechts KachelX + 1 28014 KachelY + 1 14767 -0.45578404 1.21843537 -26.114502 69.811204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21846846-1.21843537) × R
    3.30900000000689e-05 × 6371000     		dl = 210.816390000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21846846-1.21843537) × R
    3.30900000000689e-05 × 6371000     		dr = 210.816390000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45587992--0.45578404) × cos(1.21846846) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345083610951763 × 6371000     		do = 210.794834473612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45587992--0.45578404) × cos(1.21843537) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.34511466810859 × 6371000     		du = 210.813805783825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21846846)-sin(1.21843537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345083610951763-0.34511466810859)×R²
    abs(-0.45578404--0.45587992)×3.10571568272744e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10571568272744e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10571568272744e-05×40589641000000     		ar = 44441.005769865m²