Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28012 / 6828
↖ ↑ ↗
← N 80.492230°
W 26.125488°		 ← 100.89 m → N 80.492230°
W 26.119995°		 →
↑
100.85 m
↓
↑
100.85 m
↓
N 80.491323°
W 26.125488°		 ← 100.90 m →
10 176 m²		 N 80.491323°
W 26.119995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427436828613281 y=0.104194641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427436828613281 × 216)
    floor (0.427436828613281 × 65536)
    floor (28012.5)     		tx = 28012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104194641113281 × 216)
    floor (0.104194641113281 × 65536)
    floor (6828.5)     		ty = 6828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28012 / 6828 ti = "16/28012/6828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28012/6828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28012 ÷ 216
    28012 ÷ 65536     		x = 0.42742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6828 ÷ 216
    6828 ÷ 65536     		y = 0.10418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45597579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10418701171875 × 2 - 1) × π
    0.7916259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48696635228851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45597579} λ = -0.45597579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48696635228851))-π/2
    2×atan(12.0247419017376)-π/2
    2×1.4878253800331-π/2
    2.97565076006621-1.57079632675     		φ = 1.40485443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45597579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.125488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40485443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.492230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28012 KachelY 6828 -0.45597579 1.40485443 -26.125488 80.492230
    Oben rechts KachelX + 1 28013 KachelY 6828 -0.45587992 1.40485443 -26.119995 80.492230
    Unten links KachelX 28012 KachelY + 1 6829 -0.45597579 1.40483860 -26.125488 80.491323
    Unten rechts KachelX + 1 28013 KachelY + 1 6829 -0.45587992 1.40483860 -26.119995 80.491323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40485443-1.40483860) × R
    1.5830000000161e-05 × 6371000     		dl = 100.852930001026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40485443-1.40483860) × R
    1.5830000000161e-05 × 6371000     		dr = 100.852930001026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45597579--0.45587992) × cos(1.40485443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1651813622806 × 6371000     		do = 100.890755912928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45597579--0.45587992) × cos(1.40483860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165196974806503 × 6371000     		du = 100.900291852808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40485443)-sin(1.40483860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1651813622806-0.165196974806503)×R²
    abs(-0.45587992--0.45597579)×1.56125259026807e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56125259026807e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56125259026807e-05×40589641000000     		ar = 10175.6092077907m²