Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28012 / 6812
↖ ↑ ↗
← N 80.506737°
W 26.125488°		 ← 100.74 m → N 80.506737°
W 26.119995°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 80.505831°
W 26.125488°		 ← 100.75 m →
10 154 m²		 N 80.505831°
W 26.119995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427436828613281 y=0.103950500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427436828613281 × 216)
    floor (0.427436828613281 × 65536)
    floor (28012.5)     		tx = 28012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103950500488281 × 216)
    floor (0.103950500488281 × 65536)
    floor (6812.5)     		ty = 6812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28012 / 6812 ti = "16/28012/6812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28012/6812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28012 ÷ 216
    28012 ÷ 65536     		x = 0.42742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6812 ÷ 216
    6812 ÷ 65536     		y = 0.10394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45597579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10394287109375 × 2 - 1) × π
    0.7921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48850033307636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45597579} λ = -0.45597579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48850033307636))-π/2
    2×atan(12.0432017797228)-π/2
    2×1.4879519767586-π/2
    2.9759039535172-1.57079632675     		φ = 1.40510763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45597579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.125488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40510763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.506737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28012 KachelY 6812 -0.45597579 1.40510763 -26.125488 80.506737
    Oben rechts KachelX + 1 28013 KachelY 6812 -0.45587992 1.40510763 -26.119995 80.506737
    Unten links KachelX 28012 KachelY + 1 6813 -0.45597579 1.40509181 -26.125488 80.505831
    Unten rechts KachelX + 1 28013 KachelY + 1 6813 -0.45587992 1.40509181 -26.119995 80.505831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40510763-1.40509181) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40510763-1.40509181) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45597579--0.45587992) × cos(1.40510763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164931635143825 × 6371000     		do = 100.738225631948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45597579--0.45587992) × cos(1.40509181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164947238468307 × 6371000     		du = 100.747755951713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40510763)-sin(1.40509181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164931635143825-0.164947238468307)×R²
    abs(-0.45587992--0.45597579)×1.56033244821108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56033244821108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56033244821108e-05×40589641000000     		ar = 10153.8074626255m²