Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28011 / 6813
↖ ↑ ↗
← N 80.505831°
W 26.130981°		 ← 100.75 m → N 80.505831°
W 26.125488°		 →
↑
100.73 m
↓
↑
100.73 m
↓
N 80.504925°
W 26.130981°		 ← 100.76 m →
10 148 m²		 N 80.504925°
W 26.125488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427421569824219 y=0.103965759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427421569824219 × 216)
    floor (0.427421569824219 × 65536)
    floor (28011.5)     		tx = 28011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103965759277344 × 216)
    floor (0.103965759277344 × 65536)
    floor (6813.5)     		ty = 6813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28011 / 6813 ti = "16/28011/6813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28011/6813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28011 ÷ 216
    28011 ÷ 65536     		x = 0.427413940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6813 ÷ 216
    6813 ÷ 65536     		y = 0.103958129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427413940429688 × 2 - 1) × π
    -0.145172119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45607166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103958129882812 × 2 - 1) × π
    0.792083740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48840445927712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45607166} λ = -0.45607166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48840445927712))-π/2
    2×atan(12.0420472075607)-π/2
    2×1.48794407007338-π/2
    2.97588814014676-1.57079632675     		φ = 1.40509181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45607166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.130981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40509181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.505831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28011 KachelY 6813 -0.45607166 1.40509181 -26.130981 80.505831
    Oben rechts KachelX + 1 28012 KachelY 6813 -0.45597579 1.40509181 -26.125488 80.505831
    Unten links KachelX 28011 KachelY + 1 6814 -0.45607166 1.40507600 -26.130981 80.504925
    Unten rechts KachelX + 1 28012 KachelY + 1 6814 -0.45597579 1.40507600 -26.125488 80.504925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40509181-1.40507600) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dl = 100.725510000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40509181-1.40507600) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dr = 100.725510000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45607166--0.45597579) × cos(1.40509181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164947238468307 × 6371000     		do = 100.747755951713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45607166--0.45597579) × cos(1.40507600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16496283188851 × 6371000     		du = 100.757280222065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40509181)-sin(1.40507600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164947238468307-0.16496283188851)×R²
    abs(-0.45597579--0.45607166)×1.55934202026031e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55934202026031e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55934202026031e-05×40589641000000     		ar = 10148.3487682978m²