Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28010 / 7010
↖ ↑ ↗
← N 80.325660°
W 26.136475°		 ← 102.65 m → N 80.325660°
W 26.130981°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
N 80.324737°
W 26.136475°		 ← 102.66 m →
10 536 m²		 N 80.324737°
W 26.130981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427406311035156 y=0.106971740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427406311035156 × 216)
    floor (0.427406311035156 × 65536)
    floor (28010.5)     		tx = 28010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106971740722656 × 216)
    floor (0.106971740722656 × 65536)
    floor (7010.5)     		ty = 7010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28010 / 7010 ti = "16/28010/7010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28010/7010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28010 ÷ 216
    28010 ÷ 65536     		x = 0.427398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7010 ÷ 216
    7010 ÷ 65536     		y = 0.106964111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.14520263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45616754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106964111328125 × 2 - 1) × π
    0.78607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46951732082681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45616754} λ = -0.45616754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46951732082681))-π/2
    2×atan(11.8167417797454)-π/2
    2×1.48637178284112-π/2
    2.97274356568223-1.57079632675     		φ = 1.40194724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45616754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.136475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40194724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.325660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28010 KachelY 7010 -0.45616754 1.40194724 -26.136475 80.325660
    Oben rechts KachelX + 1 28011 KachelY 7010 -0.45607166 1.40194724 -26.130981 80.325660
    Unten links KachelX 28010 KachelY + 1 7011 -0.45616754 1.40193113 -26.136475 80.324737
    Unten rechts KachelX + 1 28011 KachelY + 1 7011 -0.45607166 1.40193113 -26.130981 80.324737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40194724-1.40193113) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40194724-1.40193113) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45616754--0.45607166) × cos(1.40194724) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.168047914744873 × 6371000     		do = 102.652317432811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45616754--0.45607166) × cos(1.40193113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.168063795619989 × 6371000     		du = 102.66201828888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40194724)-sin(1.40193113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168047914744873-0.168063795619989)×R²
    abs(-0.45607166--0.45616754)×1.58808751165307e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.58808751165307e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.58808751165307e-05×40589641000000     		ar = 10536.4042333229m²