Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28007 / 7013
↖ ↑ ↗
← N 80.322890°
W 26.152954°		 ← 102.68 m → N 80.322890°
W 26.147461°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
N 80.321967°
W 26.152954°		 ← 102.69 m →
10 546 m²		 N 80.321967°
W 26.147461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427360534667969 y=0.107017517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427360534667969 × 216)
    floor (0.427360534667969 × 65536)
    floor (28007.5)     		tx = 28007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107017517089844 × 216)
    floor (0.107017517089844 × 65536)
    floor (7013.5)     		ty = 7013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28007 / 7013 ti = "16/28007/7013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28007/7013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28007 ÷ 216
    28007 ÷ 65536     		x = 0.427352905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7013 ÷ 216
    7013 ÷ 65536     		y = 0.107009887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427352905273438 × 2 - 1) × π
    -0.145294189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45645516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107009887695312 × 2 - 1) × π
    0.785980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46922969942909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45645516} λ = -0.45645516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46922969942909))-π/2
    2×atan(11.8133435206877)-π/2
    2×1.48634761232652-π/2
    2.97269522465305-1.57079632675     		φ = 1.40189890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45645516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.152954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40189890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.322890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28007 KachelY 7013 -0.45645516 1.40189890 -26.152954 80.322890
    Oben rechts KachelX + 1 28008 KachelY 7013 -0.45635928 1.40189890 -26.147461 80.322890
    Unten links KachelX 28007 KachelY + 1 7014 -0.45645516 1.40188278 -26.152954 80.321967
    Unten rechts KachelX + 1 28008 KachelY + 1 7014 -0.45635928 1.40188278 -26.147461 80.321967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40189890-1.40188278) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40189890-1.40188278) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45645516--0.45635928) × cos(1.40189890) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.168095567097071 × 6371000     		do = 102.681425942737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45645516--0.45635928) × cos(1.40188278) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.168111457698974 × 6371000     		du = 102.691132740427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40189890)-sin(1.40188278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168095567097071-0.168111457698974)×R²
    abs(-0.45635928--0.45645516)×1.58906019031291e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.58906019031291e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.58906019031291e-05×40589641000000     		ar = 10545.9342855724m²