Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28006 / 21798
↖ ↑ ↗
← N 51.488224°
W 26.158447°		 ← 380.32 m → N 51.488224°
W 26.152954°		 →
↑
380.35 m
↓
↑
380.35 m
↓
N 51.484804°
W 26.158447°		 ← 380.35 m →
144 661 m²		 N 51.484804°
W 26.152954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427345275878906 y=0.332618713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427345275878906 × 216)
    floor (0.427345275878906 × 65536)
    floor (28006.5)     		tx = 28006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332618713378906 × 216)
    floor (0.332618713378906 × 65536)
    floor (21798.5)     		ty = 21798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28006 / 21798 ti = "16/28006/21798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28006/21798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28006 ÷ 216
    28006 ÷ 65536     		x = 0.427337646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21798 ÷ 216
    21798 ÷ 65536     		y = 0.332611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.14532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45655103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332611083984375 × 2 - 1) × π
    0.33477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05173557766403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45655103} λ = -0.45655103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05173557766403))-π/2
    2×atan(2.86261509995727)-π/2
    2×1.23471768363798-π/2
    2.46943536727596-1.57079632675     		φ = 0.89863904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45655103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.158447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89863904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.488224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28006 KachelY 21798 -0.45655103 0.89863904 -26.158447 51.488224
    Oben rechts KachelX + 1 28007 KachelY 21798 -0.45645516 0.89863904 -26.152954 51.488224
    Unten links KachelX 28006 KachelY + 1 21799 -0.45655103 0.89857934 -26.158447 51.484804
    Unten rechts KachelX + 1 28007 KachelY + 1 21799 -0.45645516 0.89857934 -26.152954 51.484804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89863904-0.89857934) × R
    5.96999999999959e-05 × 6371000     		dl = 380.348699999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89863904-0.89857934) × R
    5.96999999999959e-05 × 6371000     		dr = 380.348699999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45655103--0.45645516) × cos(0.89863904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622675468855821 × 6371000     		do = 380.322561056143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45655103--0.45645516) × cos(0.89857934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622722181813987 × 6371000     		du = 380.351092759691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89863904)-sin(0.89857934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622675468855821-0.622722181813987)×R²
    abs(-0.45645516--0.45655103)×4.67129581657177e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67129581657177e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67129581657177e-05×40589641000000     		ar = 144660.617719567m²