Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28005 / 14300
↖ ↑ ↗
← N 70.678152°
W 26.163941°		 ← 202.12 m → N 70.678152°
W 26.158447°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
N 70.676335°
W 26.163941°		 ← 202.13 m →
40 847 m²		 N 70.676335°
W 26.158447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427330017089844 y=0.218208312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427330017089844 × 216)
    floor (0.427330017089844 × 65536)
    floor (28005.5)     		tx = 28005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218208312988281 × 216)
    floor (0.218208312988281 × 65536)
    floor (14300.5)     		ty = 14300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28005 / 14300 ti = "16/28005/14300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28005/14300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28005 ÷ 216
    28005 ÷ 65536     		x = 0.427322387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14300 ÷ 216
    14300 ÷ 65536     		y = 0.21820068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427322387695312 × 2 - 1) × π
    -0.145355224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45664691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21820068359375 × 2 - 1) × π
    0.5635986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77059732436639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45664691} λ = -0.45664691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77059732436639))-π/2
    2×atan(5.87436121270512)-π/2
    2×1.40218139919282-π/2
    2.80436279838563-1.57079632675     		φ = 1.23356647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45664691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.163941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23356647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.678152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28005 KachelY 14300 -0.45664691 1.23356647 -26.163941 70.678152
    Oben rechts KachelX + 1 28006 KachelY 14300 -0.45655103 1.23356647 -26.158447 70.678152
    Unten links KachelX 28005 KachelY + 1 14301 -0.45664691 1.23353475 -26.163941 70.676335
    Unten rechts KachelX + 1 28006 KachelY + 1 14301 -0.45655103 1.23353475 -26.158447 70.676335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23356647-1.23353475) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dl = 202.088119999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23356647-1.23353475) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dr = 202.088119999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45664691--0.45655103) × cos(1.23356647) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330874250512052 × 6371000     		do = 202.115025619162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45664691--0.45655103) × cos(1.23353475) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330904183711965 × 6371000     		du = 202.13331035863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23356647)-sin(1.23353475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330874250512052-0.330904183711965)×R²
    abs(-0.45655103--0.45664691)×2.9933199912513e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.9933199912513e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.9933199912513e-05×40589641000000     		ar = 40846.8931188954m²