Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28004 / 43525
↖ ↑ ↗
← S 50.753834°
W 26.169434°		 ← 386.42 m → S 50.753834°
W 26.163941°		 →
↑
386.46 m
↓
↑
386.46 m
↓
S 50.757310°
W 26.169434°		 ← 386.39 m →
149 331 m²		 S 50.757310°
W 26.163941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427314758300781 y=0.664146423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427314758300781 × 216)
    floor (0.427314758300781 × 65536)
    floor (28004.5)     		tx = 28004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664146423339844 × 216)
    floor (0.664146423339844 × 65536)
    floor (43525.5)     		ty = 43525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28004 / 43525 ti = "16/28004/43525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28004/43525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28004 ÷ 216
    28004 ÷ 65536     		x = 0.42730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43525 ÷ 216
    43525 ÷ 65536     		y = 0.664138793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42730712890625 × 2 - 1) × π
    -0.1453857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45674278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664138793945312 × 2 - 1) × π
    -0.328277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03131445842589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45674278} λ = -0.45674278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03131445842589))-π/2
    2×atan(0.35653799804512)-π/2
    2×0.34248740155686-π/2
    0.68497480311372-1.57079632675     		φ = -0.88582152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45674278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.169434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88582152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.753834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28004 KachelY 43525 -0.45674278 -0.88582152 -26.169434 -50.753834
    Oben rechts KachelX + 1 28005 KachelY 43525 -0.45664691 -0.88582152 -26.163941 -50.753834
    Unten links KachelX 28004 KachelY + 1 43526 -0.45674278 -0.88588218 -26.169434 -50.757310
    Unten rechts KachelX + 1 28005 KachelY + 1 43526 -0.45664691 -0.88588218 -26.163941 -50.757310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88582152--0.88588218) × R
    6.06599999999347e-05 × 6371000     		dl = 386.464859999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88582152--0.88588218) × R
    6.06599999999347e-05 × 6371000     		dr = 386.464859999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45674278--0.45664691) × cos(-0.88582152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632653501217721 × 6371000     		do = 386.417021191456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45674278--0.45664691) × cos(-0.88588218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632606522827538 × 6371000     		du = 386.388327365277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88582152)-sin(-0.88588218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632653501217721-0.632606522827538)×R²
    abs(-0.45664691--0.45674278)×4.69783901834164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69783901834164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69783901834164e-05×40589641000000     		ar = 149331.055464375m²