Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28002 / 7002
↖ ↑ ↗
← N 80.333042°
W 26.180420°		 ← 102.57 m → N 80.333042°
W 26.174927°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
N 80.332119°
W 26.180420°		 ← 102.58 m →
10 522 m²		 N 80.332119°
W 26.174927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427284240722656 y=0.106849670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427284240722656 × 216)
    floor (0.427284240722656 × 65536)
    floor (28002.5)     		tx = 28002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106849670410156 × 216)
    floor (0.106849670410156 × 65536)
    floor (7002.5)     		ty = 7002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28002 / 7002 ti = "16/28002/7002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28002/7002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28002 ÷ 216
    28002 ÷ 65536     		x = 0.427276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7002 ÷ 216
    7002 ÷ 65536     		y = 0.106842041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.14544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45693453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106842041015625 × 2 - 1) × π
    0.78631591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47028431122073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45693453} λ = -0.45693453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47028431122073))-π/2
    2×atan(11.8258085838093)-π/2
    2×1.48643620405257-π/2
    2.97287240810513-1.57079632675     		φ = 1.40207608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45693453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.180420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40207608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.333042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28002 KachelY 7002 -0.45693453 1.40207608 -26.180420 80.333042
    Oben rechts KachelX + 1 28003 KachelY 7002 -0.45683865 1.40207608 -26.174927 80.333042
    Unten links KachelX 28002 KachelY + 1 7003 -0.45693453 1.40205998 -26.180420 80.332119
    Unten rechts KachelX + 1 28003 KachelY + 1 7003 -0.45683865 1.40205998 -26.174927 80.332119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40207608-1.40205998) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dl = 102.573100000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40207608-1.40205998) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dr = 102.573100000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45693453--0.45683865) × cos(1.40207608) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.167920905606208 × 6371000     		do = 102.574733712484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45693453--0.45683865) × cos(1.40205998) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.167936776972034 × 6371000     		du = 102.584428759789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40207608)-sin(1.40205998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167920905606208-0.167936776972034)×R²
    abs(-0.45683865--0.45693453)×1.58713658259257e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.58713658259257e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.58713658259257e-05×40589641000000     		ar = 10521.9056444583m²