Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28002 / 6815
↖ ↑ ↗
← N 80.504018°
W 26.180420°		 ← 100.78 m → N 80.504018°
W 26.174927°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 80.503112°
W 26.180420°		 ← 100.79 m →
10 158 m²		 N 80.503112°
W 26.174927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427284240722656 y=0.103996276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427284240722656 × 216)
    floor (0.427284240722656 × 65536)
    floor (28002.5)     		tx = 28002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103996276855469 × 216)
    floor (0.103996276855469 × 65536)
    floor (6815.5)     		ty = 6815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28002 / 6815 ti = "16/28002/6815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28002/6815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28002 ÷ 216
    28002 ÷ 65536     		x = 0.427276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6815 ÷ 216
    6815 ÷ 65536     		y = 0.103988647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.14544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45693453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103988647460938 × 2 - 1) × π
    0.792022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48821271167863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45693453} λ = -0.45693453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48821271167863))-π/2
    2×atan(12.0397383952895)-π/2
    2×1.48792825445979-π/2
    2.97585650891958-1.57079632675     		φ = 1.40506018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45693453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.180420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40506018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.504018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28002 KachelY 6815 -0.45693453 1.40506018 -26.180420 80.504018
    Oben rechts KachelX + 1 28003 KachelY 6815 -0.45683865 1.40506018 -26.174927 80.504018
    Unten links KachelX 28002 KachelY + 1 6816 -0.45693453 1.40504436 -26.180420 80.503112
    Unten rechts KachelX + 1 28003 KachelY + 1 6816 -0.45683865 1.40504436 -26.174927 80.503112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40506018-1.40504436) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40506018-1.40504436) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45693453--0.45683865) × cos(1.40506018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.16497843513045 × 6371000     		do = 100.777321267512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45693453--0.45683865) × cos(1.40504436) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.164994038331102 × 6371000     		du = 100.786852505723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40506018)-sin(1.40504436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16497843513045-0.164994038331102)×R²
    abs(-0.45683865--0.45693453)×1.56032006512763e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.56032006512763e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.56032006512763e-05×40589641000000     		ar = 10157.7479273395m²