Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28002 / 14308
↖ ↑ ↗
← N 70.663607°
W 26.180420°		 ← 202.26 m → N 70.663607°
W 26.174927°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
N 70.661788°
W 26.180420°		 ← 202.28 m →
40 902 m²		 N 70.661788°
W 26.174927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427284240722656 y=0.218330383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427284240722656 × 216)
    floor (0.427284240722656 × 65536)
    floor (28002.5)     		tx = 28002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218330383300781 × 216)
    floor (0.218330383300781 × 65536)
    floor (14308.5)     		ty = 14308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28002 / 14308 ti = "16/28002/14308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28002/14308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28002 ÷ 216
    28002 ÷ 65536     		x = 0.427276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14308 ÷ 216
    14308 ÷ 65536     		y = 0.21832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.14544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45693453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21832275390625 × 2 - 1) × π
    0.5633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76983033397247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45693453} λ = -0.45693453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76983033397247))-π/2
    2×atan(5.86985736151064)-π/2
    2×1.40205446457745-π/2
    2.8041089291549-1.57079632675     		φ = 1.23331260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45693453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.180420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23331260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.663607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28002 KachelY 14308 -0.45693453 1.23331260 -26.180420 70.663607
    Oben rechts KachelX + 1 28003 KachelY 14308 -0.45683865 1.23331260 -26.174927 70.663607
    Unten links KachelX 28002 KachelY + 1 14309 -0.45693453 1.23328086 -26.180420 70.661788
    Unten rechts KachelX + 1 28003 KachelY + 1 14309 -0.45683865 1.23328086 -26.174927 70.661788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23331260-1.23328086) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dl = 202.215540000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23331260-1.23328086) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dr = 202.215540000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45693453--0.45683865) × cos(1.23331260) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.331113810582282 × 6371000     		do = 202.261361242611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45693453--0.45683865) × cos(1.23328086) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.331143759988266 × 6371000     		du = 202.279655881582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23331260)-sin(1.23328086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331113810582282-0.331143759988266)×R²
    abs(-0.45683865--0.45693453)×2.99494059841643e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.99494059841643e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.99494059841643e-05×40589641000000     		ar = 40902.2401184404m²