Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28000 / 21942
↖ ↑ ↗
← N 50.993015°
W 26.191406°		 ← 384.44 m → N 50.993015°
W 26.185913°		 →
↑
384.49 m
↓
↑
384.49 m
↓
N 50.989557°
W 26.191406°		 ← 384.47 m →
147 818 m²		 N 50.989557°
W 26.185913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427253723144531 y=0.334815979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427253723144531 × 216)
    floor (0.427253723144531 × 65536)
    floor (28000.5)     		tx = 28000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334815979003906 × 216)
    floor (0.334815979003906 × 65536)
    floor (21942.5)     		ty = 21942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28000 / 21942 ti = "16/28000/21942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28000/21942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28000 ÷ 216
    28000 ÷ 65536     		x = 0.42724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21942 ÷ 216
    21942 ÷ 65536     		y = 0.334808349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334808349609375 × 2 - 1) × π
    0.33038330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03792975057346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45712627} λ = -0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03792975057346))-π/2
    2×atan(2.82336588818512)-π/2
    2×1.23039616187203-π/2
    2.46079232374406-1.57079632675     		φ = 0.88999600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88999600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.993015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28000 KachelY 21942 -0.45712627 0.88999600 -26.191406 50.993015
    Oben rechts KachelX + 1 28001 KachelY 21942 -0.45703040 0.88999600 -26.185913 50.993015
    Unten links KachelX 28000 KachelY + 1 21943 -0.45712627 0.88993565 -26.191406 50.989557
    Unten rechts KachelX + 1 28001 KachelY + 1 21943 -0.45703040 0.88993565 -26.185913 50.989557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88999600-0.88993565) × R
    6.03500000000423e-05 × 6371000     		dl = 384.48985000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88999600-0.88993565) × R
    6.03500000000423e-05 × 6371000     		dr = 384.48985000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45712627--0.45703040) × cos(0.88999600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629415134855652 × 6371000     		do = 384.439066622724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45712627--0.45703040) × cos(0.88993565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629462029837442 × 6371000     		du = 384.467709504077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88999600)-sin(0.88993565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629415134855652-0.629462029837442)×R²
    abs(-0.45703040--0.45712627)×4.68949817907793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68949817907793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68949817907793e-05×40589641000000     		ar = 147818.425553653m²