Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27999 / 9294
↖ ↑ ↗
← N 77.973035°
W 26.196899°		 ← 127.28 m → N 77.973035°
W 26.191406°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
N 77.971890°
W 26.196899°		 ← 127.30 m →
16 203 m²		 N 77.971890°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427238464355469 y=0.141822814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427238464355469 × 216)
    floor (0.427238464355469 × 65536)
    floor (27999.5)     		tx = 27999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141822814941406 × 216)
    floor (0.141822814941406 × 65536)
    floor (9294.5)     		ty = 9294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27999 / 9294 ti = "16/27999/9294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27999/9294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27999 ÷ 216
    27999 ÷ 65536     		x = 0.427230834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9294 ÷ 216
    9294 ÷ 65536     		y = 0.141815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427230834960938 × 2 - 1) × π
    -0.145538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45722215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141815185546875 × 2 - 1) × π
    0.71636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2505415633624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45722215} λ = -0.45722215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2505415633624))-π/2
    2×atan(9.49287543806397)-π/2
    2×1.465841252718-π/2
    2.93168250543601-1.57079632675     		φ = 1.36088618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45722215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.196899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36088618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.973035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27999 KachelY 9294 -0.45722215 1.36088618 -26.196899 77.973035
    Oben rechts KachelX + 1 28000 KachelY 9294 -0.45712627 1.36088618 -26.191406 77.973035
    Unten links KachelX 27999 KachelY + 1 9295 -0.45722215 1.36086620 -26.196899 77.971890
    Unten rechts KachelX + 1 28000 KachelY + 1 9295 -0.45712627 1.36086620 -26.191406 77.971890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36088618-1.36086620) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36088618-1.36086620) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45722215--0.45712627) × cos(1.36088618) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.208372019792329 × 6371000     		do = 127.284356680724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45722215--0.45712627) × cos(1.36086620) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.208391561182575 × 6371000     		du = 127.296293567877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36088618)-sin(1.36086620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208372019792329-0.208391561182575)×R²
    abs(-0.45712627--0.45722215)×1.9541390246125e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.9541390246125e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.9541390246125e-05×40589641000000     		ar = 16203.1138943513m²