Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27997 / 9603
↖ ↑ ↗
← N 77.614175°
W 26.207886°		 ← 131.02 m → N 77.614175°
W 26.202392°		 →
↑
131.05 m
↓
↑
131.05 m
↓
N 77.612996°
W 26.207886°		 ← 131.04 m →
17 172 m²		 N 77.612996°
W 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427207946777344 y=0.146537780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427207946777344 × 216)
    floor (0.427207946777344 × 65536)
    floor (27997.5)     		tx = 27997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146537780761719 × 216)
    floor (0.146537780761719 × 65536)
    floor (9603.5)     		ty = 9603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27997 / 9603 ti = "16/27997/9603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27997/9603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27997 ÷ 216
    27997 ÷ 65536     		x = 0.427200317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9603 ÷ 216
    9603 ÷ 65536     		y = 0.146530151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427200317382812 × 2 - 1) × π
    -0.145599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45741390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146530151367188 × 2 - 1) × π
    0.706939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2209165593972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45741390} λ = -0.45741390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2209165593972))-π/2
    2×atan(9.21577380014483)-π/2
    2×1.46270961164806-π/2
    2.92541922329612-1.57079632675     		φ = 1.35462290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45741390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.207886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35462290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.614175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27997 KachelY 9603 -0.45741390 1.35462290 -26.207886 77.614175
    Oben rechts KachelX + 1 27998 KachelY 9603 -0.45731802 1.35462290 -26.202392 77.614175
    Unten links KachelX 27997 KachelY + 1 9604 -0.45741390 1.35460233 -26.207886 77.612996
    Unten rechts KachelX + 1 27998 KachelY + 1 9604 -0.45731802 1.35460233 -26.202392 77.612996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35462290-1.35460233) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dl = 131.051469999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35462290-1.35460233) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dr = 131.051469999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45741390--0.45731802) × cos(1.35462290) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.214493691434371 × 6371000     		do = 131.023788863339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45741390--0.45731802) × cos(1.35460233) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.214513782629935 × 6371000     		du = 131.036061599884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35462290)-sin(1.35460233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214493691434371-0.214513782629935)×R²
    abs(-0.45731802--0.45741390)×2.00911955642036e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.00911955642036e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.00911955642036e-05×40589641000000     		ar = 17171.6643160705m²