Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27997 / 21854
↖ ↑ ↗
← N 51.296276°
W 26.207886°		 ← 381.96 m → N 51.296276°
W 26.202392°		 →
↑
381.94 m
↓
↑
381.94 m
↓
N 51.292841°
W 26.207886°		 ← 381.99 m →
145 892 m²		 N 51.292841°
W 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427207946777344 y=0.333473205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427207946777344 × 216)
    floor (0.427207946777344 × 65536)
    floor (27997.5)     		tx = 27997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333473205566406 × 216)
    floor (0.333473205566406 × 65536)
    floor (21854.5)     		ty = 21854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27997 / 21854 ti = "16/27997/21854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27997/21854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27997 ÷ 216
    27997 ÷ 65536     		x = 0.427200317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21854 ÷ 216
    21854 ÷ 65536     		y = 0.333465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427200317382812 × 2 - 1) × π
    -0.145599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45741390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333465576171875 × 2 - 1) × π
    0.33306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04636664490659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45741390} λ = -0.45741390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04636664490659))-π/2
    2×atan(2.84728709630529)-π/2
    2×1.23304261932248-π/2
    2.46608523864496-1.57079632675     		φ = 0.89528891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45741390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.207886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89528891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.296276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27997 KachelY 21854 -0.45741390 0.89528891 -26.207886 51.296276
    Oben rechts KachelX + 1 27998 KachelY 21854 -0.45731802 0.89528891 -26.202392 51.296276
    Unten links KachelX 27997 KachelY + 1 21855 -0.45741390 0.89522896 -26.207886 51.292841
    Unten rechts KachelX + 1 27998 KachelY + 1 21855 -0.45731802 0.89522896 -26.202392 51.292841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89528891-0.89522896) × R
    5.99500000000308e-05 × 6371000     		dl = 381.941450000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89528891-0.89522896) × R
    5.99500000000308e-05 × 6371000     		dr = 381.941450000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45741390--0.45731802) × cos(0.89528891) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62529338008288 × 6371000     		do = 381.9613866578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45741390--0.45731802) × cos(0.89522896) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625340163325745 × 6371000     		du = 381.989964270944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89528891)-sin(0.89522896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62529338008288-0.625340163325745)×R²
    abs(-0.45731802--0.45741390)×4.67832428655557e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67832428655557e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67832428655557e-05×40589641000000     		ar = 145892.343395523m²