Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27996 / 14524
↖ ↑ ↗
← N 70.266872°
W 26.213379°		 ← 206.23 m → N 70.266872°
W 26.207886°		 →
↑
206.23 m
↓
↑
206.23 m
↓
N 70.265017°
W 26.213379°		 ← 206.24 m →
42 532 m²		 N 70.265017°
W 26.207886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427192687988281 y=0.221626281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427192687988281 × 216)
    floor (0.427192687988281 × 65536)
    floor (27996.5)     		tx = 27996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221626281738281 × 216)
    floor (0.221626281738281 × 65536)
    floor (14524.5)     		ty = 14524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27996 / 14524 ti = "16/27996/14524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27996/14524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27996 ÷ 216
    27996 ÷ 65536     		x = 0.42718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14524 ÷ 216
    14524 ÷ 65536     		y = 0.22161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45750977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22161865234375 × 2 - 1) × π
    0.5567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74912159333661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45750977} λ = -0.45750977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74912159333661))-π/2
    2×atan(5.74955001414077)-π/2
    2×1.39859230067436-π/2
    2.79718460134872-1.57079632675     		φ = 1.22638827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45750977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22638827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.266872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27996 KachelY 14524 -0.45750977 1.22638827 -26.213379 70.266872
    Oben rechts KachelX + 1 27997 KachelY 14524 -0.45741390 1.22638827 -26.207886 70.266872
    Unten links KachelX 27996 KachelY + 1 14525 -0.45750977 1.22635590 -26.213379 70.265017
    Unten rechts KachelX + 1 27997 KachelY + 1 14525 -0.45741390 1.22635590 -26.207886 70.265017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22638827-1.22635590) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dl = 206.229270000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22638827-1.22635590) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dr = 206.229270000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45750977--0.45741390) × cos(1.22638827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337639554809156 × 6371000     		do = 206.226110745672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45750977--0.45741390) × cos(1.22635590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337670023719576 × 6371000     		du = 206.244720783523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22638827)-sin(1.22635590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337639554809156-0.337670023719576)×R²
    abs(-0.45741390--0.45750977)×3.04689104206335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04689104206335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04689104206335e-05×40589641000000     		ar = 42531.7792449097m²