Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27992 / 43513
↖ ↑ ↗
← S 50.712113°
W 26.235352°		 ← 386.80 m → S 50.712113°
W 26.229858°		 →
↑
386.78 m
↓
↑
386.78 m
↓
S 50.715591°
W 26.235352°		 ← 386.77 m →
149 603 m²		 S 50.715591°
W 26.229858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427131652832031 y=0.663963317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427131652832031 × 216)
    floor (0.427131652832031 × 65536)
    floor (27992.5)     		tx = 27992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663963317871094 × 216)
    floor (0.663963317871094 × 65536)
    floor (43513.5)     		ty = 43513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27992 / 43513 ti = "16/27992/43513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27992/43513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27992 ÷ 216
    27992 ÷ 65536     		x = 0.4271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43513 ÷ 216
    43513 ÷ 65536     		y = 0.663955688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663955688476562 × 2 - 1) × π
    -0.327911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03016397283501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45789327} λ = -0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03016397283501))-π/2
    2×atan(0.356948425924883)-π/2
    2×0.342851493066017-π/2
    0.685702986132034-1.57079632675     		φ = -0.88509334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88509334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.712113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27992 KachelY 43513 -0.45789327 -0.88509334 -26.235352 -50.712113
    Oben rechts KachelX + 1 27993 KachelY 43513 -0.45779739 -0.88509334 -26.229858 -50.712113
    Unten links KachelX 27992 KachelY + 1 43514 -0.45789327 -0.88515405 -26.235352 -50.715591
    Unten rechts KachelX + 1 27993 KachelY + 1 43514 -0.45779739 -0.88515405 -26.229858 -50.715591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88509334--0.88515405) × R
    6.07100000000749e-05 × 6371000     		dl = 386.783410000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88509334--0.88515405) × R
    6.07100000000749e-05 × 6371000     		dr = 386.783410000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45789327--0.45779739) × cos(-0.88509334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.6332172615049 × 6371000     		do = 386.801701351785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45789327--0.45779739) × cos(-0.88515405) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633170272370695 × 6371000     		du = 386.772997969613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88509334)-sin(-0.88515405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6332172615049-0.633170272370695)×R²
    abs(-0.45779739--0.45789327)×4.69891342044226e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69891342044226e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69891342044226e-05×40589641000000     		ar = 149602.930092707m²