Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27990 / 43510
↖ ↑ ↗
← S 50.701676°
W 26.246338°		 ← 386.85 m → S 50.701676°
W 26.240845°		 →
↑
386.85 m
↓
↑
386.85 m
↓
S 50.705155°
W 26.246338°		 ← 386.82 m →
149 645 m²		 S 50.705155°
W 26.240845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427101135253906 y=0.663917541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427101135253906 × 216)
    floor (0.427101135253906 × 65536)
    floor (27990.5)     		tx = 27990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663917541503906 × 216)
    floor (0.663917541503906 × 65536)
    floor (43510.5)     		ty = 43510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27990 / 43510 ti = "16/27990/43510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27990/43510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27990 ÷ 216
    27990 ÷ 65536     		x = 0.427093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43510 ÷ 216
    43510 ÷ 65536     		y = 0.663909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427093505859375 × 2 - 1) × π
    -0.14581298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45808501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.32781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02987635143729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45808501} λ = -0.45808501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02987635143729))-π/2
    2×atan(0.357051106695947)-π/2
    2×0.342942566618982-π/2
    0.685885133237963-1.57079632675     		φ = -0.88491119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45808501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.246338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88491119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.701676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27990 KachelY 43510 -0.45808501 -0.88491119 -26.246338 -50.701676
    Oben rechts KachelX + 1 27991 KachelY 43510 -0.45798914 -0.88491119 -26.240845 -50.701676
    Unten links KachelX 27990 KachelY + 1 43511 -0.45808501 -0.88497191 -26.246338 -50.705155
    Unten rechts KachelX + 1 27991 KachelY + 1 43511 -0.45798914 -0.88497191 -26.240845 -50.705155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88491119--0.88497191) × R
    6.07200000000141e-05 × 6371000     		dl = 386.84712000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88491119--0.88497191) × R
    6.07200000000141e-05 × 6371000     		dr = 386.84712000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45808501--0.45798914) × cos(-0.88491119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.633358230380886 × 6371000     		do = 386.847461145479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45808501--0.45798914) × cos(-0.88497191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.633311240510553 × 6371000     		du = 386.818760307366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88491119)-sin(-0.88497191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633358230380886-0.633311240510553)×R²
    abs(-0.45798914--0.45808501)×4.69898703333582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69898703333582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69898703333582e-05×40589641000000     		ar = 149645.274851119m²