Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27987 / 14532
↖ ↑ ↗
← N 70.252029°
W 26.262817°		 ← 206.38 m → N 70.252029°
W 26.257324°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
N 70.250173°
W 26.262817°		 ← 206.39 m →
42 589 m²		 N 70.250173°
W 26.257324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427055358886719 y=0.221748352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427055358886719 × 216)
    floor (0.427055358886719 × 65536)
    floor (27987.5)     		tx = 27987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221748352050781 × 216)
    floor (0.221748352050781 × 65536)
    floor (14532.5)     		ty = 14532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27987 / 14532 ti = "16/27987/14532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27987/14532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27987 ÷ 216
    27987 ÷ 65536     		x = 0.427047729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14532 ÷ 216
    14532 ÷ 65536     		y = 0.22174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427047729492188 × 2 - 1) × π
    -0.145904541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45837263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22174072265625 × 2 - 1) × π
    0.5565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74835460294269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45837263} λ = -0.45837263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74835460294269))-π/2
    2×atan(5.74514185523442)-π/2
    2×1.3984627707785-π/2
    2.796925541557-1.57079632675     		φ = 1.22612921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45837263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.262817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22612921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.252029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27987 KachelY 14532 -0.45837263 1.22612921 -26.262817 70.252029
    Oben rechts KachelX + 1 27988 KachelY 14532 -0.45827676 1.22612921 -26.257324 70.252029
    Unten links KachelX 27987 KachelY + 1 14533 -0.45837263 1.22609682 -26.262817 70.250173
    Unten rechts KachelX + 1 27988 KachelY + 1 14533 -0.45827676 1.22609682 -26.257324 70.250173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22612921-1.22609682) × R
    3.23900000001043e-05 × 6371000     		dl = 206.356690000664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22612921-1.22609682) × R
    3.23900000001043e-05 × 6371000     		dr = 206.356690000664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45837263--0.45827676) × cos(1.22612921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337883390302675 × 6371000     		do = 206.375042483006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45837263--0.45827676) × cos(1.22609682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337913875204118 × 6371000     		du = 206.393662287977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22612921)-sin(1.22609682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337883390302675-0.337913875204118)×R²
    abs(-0.45827676--0.45837263)×3.04849014430286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04849014430286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04849014430286e-05×40589641000000     		ar = 42588.7918296169m²