Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27984 / 21846
↖ ↑ ↗
← N 51.323746°
W 26.279297°		 ← 381.73 m → N 51.323746°
W 26.273804°		 →
↑
381.69 m
↓
↑
381.69 m
↓
N 51.320314°
W 26.279297°		 ← 381.76 m →
145 708 m²		 N 51.320314°
W 26.273804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427009582519531 y=0.333351135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427009582519531 × 216)
    floor (0.427009582519531 × 65536)
    floor (27984.5)     		tx = 27984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333351135253906 × 216)
    floor (0.333351135253906 × 65536)
    floor (21846.5)     		ty = 21846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27984 / 21846 ti = "16/27984/21846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27984/21846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27984 ÷ 216
    27984 ÷ 65536     		x = 0.427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21846 ÷ 216
    21846 ÷ 65536     		y = 0.333343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427001953125 × 2 - 1) × π
    -0.14599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45866026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333343505859375 × 2 - 1) × π
    0.33331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04713363530051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45866026} λ = -0.45866026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04713363530051))-π/2
    2×atan(2.84947177586391)-π/2
    2×1.23328234456958-π/2
    2.46656468913917-1.57079632675     		φ = 0.89576836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45866026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89576836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.323746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27984 KachelY 21846 -0.45866026 0.89576836 -26.279297 51.323746
    Oben rechts KachelX + 1 27985 KachelY 21846 -0.45856438 0.89576836 -26.273804 51.323746
    Unten links KachelX 27984 KachelY + 1 21847 -0.45866026 0.89570845 -26.279297 51.320314
    Unten rechts KachelX + 1 27985 KachelY + 1 21847 -0.45856438 0.89570845 -26.273804 51.320314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89576836-0.89570845) × R
    5.99100000000519e-05 × 6371000     		dl = 381.68661000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89576836-0.89570845) × R
    5.99100000000519e-05 × 6371000     		dr = 381.68661000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45866026--0.45856438) × cos(0.89576836) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624919150354495 × 6371000     		do = 381.732787874356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45866026--0.45856438) × cos(0.89570845) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624965920339399 × 6371000     		du = 381.761357388854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89576836)-sin(0.89570845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624919150354495-0.624965920339399)×R²
    abs(-0.45856438--0.45866026)×4.67699849040493e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67699849040493e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67699849040493e-05×40589641000000     		ar = 145707.746073604m²