Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27983 / 14542
↖ ↑ ↗
← N 70.233460°
W 26.284790°		 ← 206.56 m → N 70.233460°
W 26.279297°		 →
↑
206.61 m
↓
↑
206.61 m
↓
N 70.231602°
W 26.284790°		 ← 206.58 m →
42 680 m²		 N 70.231602°
W 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426994323730469 y=0.221900939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426994323730469 × 216)
    floor (0.426994323730469 × 65536)
    floor (27983.5)     		tx = 27983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221900939941406 × 216)
    floor (0.221900939941406 × 65536)
    floor (14542.5)     		ty = 14542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27983 / 14542 ti = "16/27983/14542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27983/14542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27983 ÷ 216
    27983 ÷ 65536     		x = 0.426986694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14542 ÷ 216
    14542 ÷ 65536     		y = 0.221893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426986694335938 × 2 - 1) × π
    -0.146026611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45875613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221893310546875 × 2 - 1) × π
    0.55621337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74739586495029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45875613} λ = -0.45875613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74739586495029))-π/2
    2×atan(5.73963640902801)-π/2
    2×1.39830072686246-π/2
    2.79660145372491-1.57079632675     		φ = 1.22580513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45875613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.284790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22580513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.233460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27983 KachelY 14542 -0.45875613 1.22580513 -26.284790 70.233460
    Oben rechts KachelX + 1 27984 KachelY 14542 -0.45866026 1.22580513 -26.279297 70.233460
    Unten links KachelX 27983 KachelY + 1 14543 -0.45875613 1.22577270 -26.284790 70.231602
    Unten rechts KachelX + 1 27984 KachelY + 1 14543 -0.45866026 1.22577270 -26.279297 70.231602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22580513-1.22577270) × R
    3.24299999998612e-05 × 6371000     		dl = 206.611529999116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22580513-1.22577270) × R
    3.24299999998612e-05 × 6371000     		dr = 206.611529999116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45875613--0.45866026) × cos(1.22580513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33818839275446 × 6371000     		do = 206.561334250376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45875613--0.45866026) × cos(1.22577270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338218911750095 × 6371000     		du = 206.579974879663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22580513)-sin(1.22577270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33818839275446-0.338218911750095)×R²
    abs(-0.45866026--0.45875613)×3.05189956352758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05189956352758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05189956352758e-05×40589641000000     		ar = 42679.878996712m²