Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27981 / 21845
↖ ↑ ↗
← N 51.327179°
W 26.295777°		 ← 381.70 m → N 51.327179°
W 26.290283°		 →
↑
381.69 m
↓
↑
381.69 m
↓
N 51.323746°
W 26.295777°		 ← 381.73 m →
145 697 m²		 N 51.323746°
W 26.290283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426963806152344 y=0.333335876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426963806152344 × 216)
    floor (0.426963806152344 × 65536)
    floor (27981.5)     		tx = 27981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333335876464844 × 216)
    floor (0.333335876464844 × 65536)
    floor (21845.5)     		ty = 21845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27981 / 21845 ti = "16/27981/21845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27981/21845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27981 ÷ 216
    27981 ÷ 65536     		x = 0.426956176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21845 ÷ 216
    21845 ÷ 65536     		y = 0.333328247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426956176757812 × 2 - 1) × π
    -0.146087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45894788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333328247070312 × 2 - 1) × π
    0.333343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04722950909975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45894788} λ = -0.45894788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04722950909975))-π/2
    2×atan(2.84974497864517)-π/2
    2×1.23331230013499-π/2
    2.46662460026999-1.57079632675     		φ = 0.89582827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45894788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.295777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89582827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.327179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27981 KachelY 21845 -0.45894788 0.89582827 -26.295777 51.327179
    Oben rechts KachelX + 1 27982 KachelY 21845 -0.45885200 0.89582827 -26.290283 51.327179
    Unten links KachelX 27981 KachelY + 1 21846 -0.45894788 0.89576836 -26.295777 51.323746
    Unten rechts KachelX + 1 27982 KachelY + 1 21846 -0.45885200 0.89576836 -26.290283 51.323746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89582827-0.89576836) × R
    5.99099999999408e-05 × 6371000     		dl = 381.686609999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89582827-0.89576836) × R
    5.99099999999408e-05 × 6371000     		dr = 381.686609999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45894788--0.45885200) × cos(0.89582827) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624872378126626 × 6371000     		do = 381.70421698974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45894788--0.45885200) × cos(0.89576836) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624919150354495 × 6371000     		du = 381.732787874356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89582827)-sin(0.89576836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624872378126626-0.624919150354495)×R²
    abs(-0.45885200--0.45894788)×4.67722278688631e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67722278688631e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67722278688631e-05×40589641000000     		ar = 145696.841211236m²