Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27977 / 14549
↖ ↑ ↗
← N 70.220452°
W 26.317749°		 ← 206.69 m → N 70.220452°
W 26.312256°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
N 70.218593°
W 26.317749°		 ← 206.71 m →
42 720 m²		 N 70.218593°
W 26.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426902770996094 y=0.222007751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426902770996094 × 216)
    floor (0.426902770996094 × 65536)
    floor (27977.5)     		tx = 27977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222007751464844 × 216)
    floor (0.222007751464844 × 65536)
    floor (14549.5)     		ty = 14549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27977 / 14549 ti = "16/27977/14549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27977/14549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27977 ÷ 216
    27977 ÷ 65536     		x = 0.426895141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14549 ÷ 216
    14549 ÷ 65536     		y = 0.222000122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426895141601562 × 2 - 1) × π
    -0.146209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45933137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222000122070312 × 2 - 1) × π
    0.555999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74672474835561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45933137} λ = -0.45933137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74672474835561))-π/2
    2×atan(5.73578573605627)-π/2
    2×1.39818720909758-π/2
    2.79637441819517-1.57079632675     		φ = 1.22557809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45933137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.317749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22557809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.220452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27977 KachelY 14549 -0.45933137 1.22557809 -26.317749 70.220452
    Oben rechts KachelX + 1 27978 KachelY 14549 -0.45923550 1.22557809 -26.312256 70.220452
    Unten links KachelX 27977 KachelY + 1 14550 -0.45933137 1.22554565 -26.317749 70.218593
    Unten rechts KachelX + 1 27978 KachelY + 1 14550 -0.45923550 1.22554565 -26.312256 70.218593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22557809-1.22554565) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22557809-1.22554565) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45933137--0.45923550) × cos(1.22557809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338402046482997 × 6371000     		do = 206.691831334781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45933137--0.45923550) × cos(1.22554565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33843257239759 × 6371000     		du = 206.710476190083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22557809)-sin(1.22554565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338402046482997-0.33843257239759)×R²
    abs(-0.45923550--0.45933137)×3.05259145931824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05259145931824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05259145931824e-05×40589641000000     		ar = 42720.0105661566m²