Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27977 / 14537
↖ ↑ ↗
← N 70.242747°
W 26.317749°		 ← 206.47 m → N 70.242747°
W 26.312256°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
N 70.240890°
W 26.317749°		 ← 206.49 m →
42 634 m²		 N 70.240890°
W 26.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426902770996094 y=0.221824645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426902770996094 × 216)
    floor (0.426902770996094 × 65536)
    floor (27977.5)     		tx = 27977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221824645996094 × 216)
    floor (0.221824645996094 × 65536)
    floor (14537.5)     		ty = 14537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27977 / 14537 ti = "16/27977/14537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27977/14537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27977 ÷ 216
    27977 ÷ 65536     		x = 0.426895141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14537 ÷ 216
    14537 ÷ 65536     		y = 0.221817016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426895141601562 × 2 - 1) × π
    -0.146209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45933137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221817016601562 × 2 - 1) × π
    0.556365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74787523394649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45933137} λ = -0.45933137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74787523394649))-π/2
    2×atan(5.74238847234617)-π/2
    2×1.39838176709701-π/2
    2.79676353419402-1.57079632675     		φ = 1.22596721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45933137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.317749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22596721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.242747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27977 KachelY 14537 -0.45933137 1.22596721 -26.317749 70.242747
    Oben rechts KachelX + 1 27978 KachelY 14537 -0.45923550 1.22596721 -26.312256 70.242747
    Unten links KachelX 27977 KachelY + 1 14538 -0.45933137 1.22593480 -26.317749 70.240890
    Unten rechts KachelX + 1 27978 KachelY + 1 14538 -0.45923550 1.22593480 -26.312256 70.240890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22596721-1.22593480) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22596721-1.22593480) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45933137--0.45923550) × cos(1.22596721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338035858321136 × 6371000     		do = 206.468168083998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45933137--0.45923550) × cos(1.22593480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338066360271609 × 6371000     		du = 206.486798302308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22596721)-sin(1.22593480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338035858321136-0.338066360271609)×R²
    abs(-0.45923550--0.45933137)×3.05019504734938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05019504734938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05019504734938e-05×40589641000000     		ar = 42634.3193561176m²