Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27972 / 21844
↖ ↑ ↗
← N 51.330612°
W 26.345215°		 ← 381.64 m → N 51.330612°
W 26.339722°		 →
↑
381.69 m
↓
↑
381.69 m
↓
N 51.327179°
W 26.345215°		 ← 381.66 m →
145 671 m²		 N 51.327179°
W 26.339722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426826477050781 y=0.333320617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426826477050781 × 216)
    floor (0.426826477050781 × 65536)
    floor (27972.5)     		tx = 27972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333320617675781 × 216)
    floor (0.333320617675781 × 65536)
    floor (21844.5)     		ty = 21844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27972 / 21844 ti = "16/27972/21844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27972/21844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27972 ÷ 216
    27972 ÷ 65536     		x = 0.42681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21844 ÷ 216
    21844 ÷ 65536     		y = 0.33331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45981074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33331298828125 × 2 - 1) × π
    0.3333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04732538289899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45981074} λ = -0.45981074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04732538289899))-π/2
    2×atan(2.85001820762068)-π/2
    2×1.23334225345828-π/2
    2.46668450691655-1.57079632675     		φ = 0.89588818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45981074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89588818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.330612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27972 KachelY 21844 -0.45981074 0.89588818 -26.345215 51.330612
    Oben rechts KachelX + 1 27973 KachelY 21844 -0.45971487 0.89588818 -26.339722 51.330612
    Unten links KachelX 27972 KachelY + 1 21845 -0.45981074 0.89582827 -26.345215 51.327179
    Unten rechts KachelX + 1 27973 KachelY + 1 21845 -0.45971487 0.89582827 -26.339722 51.327179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89588818-0.89582827) × R
    5.99100000000519e-05 × 6371000     		dl = 381.68661000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89588818-0.89582827) × R
    5.99100000000519e-05 × 6371000     		dr = 381.68661000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45981074--0.45971487) × cos(0.89588818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62482560365596 × 6371000     		do = 381.635837095919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45981074--0.45971487) × cos(0.89582827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624872378126626 × 6371000     		du = 381.66440637055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89588818)-sin(0.89582827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62482560365596-0.624872378126626)×R²
    abs(-0.45971487--0.45981074)×4.67744706659223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67744706659223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67744706659223e-05×40589641000000     		ar = 145670.74121406m²