Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27971 / 21768
↖ ↑ ↗
← N 51.590722°
W 26.350708°		 ← 379.47 m → N 51.590722°
W 26.345215°		 →
↑
379.46 m
↓
↑
379.46 m
↓
N 51.587310°
W 26.350708°		 ← 379.50 m →
143 997 m²		 N 51.587310°
W 26.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426811218261719 y=0.332160949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426811218261719 × 216)
    floor (0.426811218261719 × 65536)
    floor (27971.5)     		tx = 27971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332160949707031 × 216)
    floor (0.332160949707031 × 65536)
    floor (21768.5)     		ty = 21768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27971 / 21768 ti = "16/27971/21768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27971/21768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27971 ÷ 216
    27971 ÷ 65536     		x = 0.426803588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21768 ÷ 216
    21768 ÷ 65536     		y = 0.3321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426803588867188 × 2 - 1) × π
    -0.146392822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45990661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3321533203125 × 2 - 1) × π
    0.335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05461179164124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45990661} λ = -0.45990661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05461179164124))-π/2
    2×atan(2.87086044552399)-π/2
    2×1.2356121501909-π/2
    2.47122430038181-1.57079632675     		φ = 0.90042797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45990661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.350708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90042797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.590722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27971 KachelY 21768 -0.45990661 0.90042797 -26.350708 51.590722
    Oben rechts KachelX + 1 27972 KachelY 21768 -0.45981074 0.90042797 -26.345215 51.590722
    Unten links KachelX 27971 KachelY + 1 21769 -0.45990661 0.90036841 -26.350708 51.587310
    Unten rechts KachelX + 1 27972 KachelY + 1 21769 -0.45981074 0.90036841 -26.345215 51.587310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90042797-0.90036841) × R
    5.95599999999585e-05 × 6371000     		dl = 379.456759999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90042797-0.90036841) × R
    5.95599999999585e-05 × 6371000     		dr = 379.456759999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45990661--0.45981074) × cos(0.90042797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621274670936867 × 6371000     		do = 379.466970819004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45990661--0.45981074) × cos(0.90036841) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621321340626122 × 6371000     		du = 379.495476094431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90042797)-sin(0.90036841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621274670936867-0.621321340626122)×R²
    abs(-0.45981074--0.45990661)×4.66696892554852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66696892554852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66696892554852e-05×40589641000000     		ar = 143996.71557624m²