Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27970 / 9295
↖ ↑ ↗
← N 77.971890°
W 26.356201°		 ← 127.30 m → N 77.971890°
W 26.350708°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
N 77.970745°
W 26.356201°		 ← 127.31 m →
16 205 m²		 N 77.970745°
W 26.350708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426795959472656 y=0.141838073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426795959472656 × 216)
    floor (0.426795959472656 × 65536)
    floor (27970.5)     		tx = 27970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141838073730469 × 216)
    floor (0.141838073730469 × 65536)
    floor (9295.5)     		ty = 9295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27970 / 9295 ti = "16/27970/9295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27970/9295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27970 ÷ 216
    27970 ÷ 65536     		x = 0.426788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9295 ÷ 216
    9295 ÷ 65536     		y = 0.141830444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.14642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46000249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141830444335938 × 2 - 1) × π
    0.716339111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25044568956316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46000249} λ = -0.46000249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25044568956316))-π/2
    2×atan(9.49196536365685)-π/2
    2×1.46583126354101-π/2
    2.93166252708202-1.57079632675     		φ = 1.36086620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46000249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.356201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36086620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.971890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27970 KachelY 9295 -0.46000249 1.36086620 -26.356201 77.971890
    Oben rechts KachelX + 1 27971 KachelY 9295 -0.45990661 1.36086620 -26.350708 77.971890
    Unten links KachelX 27970 KachelY + 1 9296 -0.46000249 1.36084622 -26.356201 77.970745
    Unten rechts KachelX + 1 27971 KachelY + 1 9296 -0.45990661 1.36084622 -26.350708 77.970745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36086620-1.36084622) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36086620-1.36084622) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46000249--0.45990661) × cos(1.36086620) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.208391561182575 × 6371000     		do = 127.296293567877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46000249--0.45990661) × cos(1.36084622) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.208411102489631 × 6371000     		du = 127.308230404213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36086620)-sin(1.36084622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208391561182575-0.208411102489631)×R²
    abs(-0.45990661--0.46000249)×1.95413070561423e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.95413070561423e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.95413070561423e-05×40589641000000     		ar = 16204.6333686412m²