Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27967 / 14527
↖ ↑ ↗
← N 70.261307°
W 26.372681°		 ← 206.28 m → N 70.261307°
W 26.367188°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
N 70.259452°
W 26.372681°		 ← 206.30 m →
42 556 m²		 N 70.259452°
W 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426750183105469 y=0.221672058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426750183105469 × 216)
    floor (0.426750183105469 × 65536)
    floor (27967.5)     		tx = 27967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221672058105469 × 216)
    floor (0.221672058105469 × 65536)
    floor (14527.5)     		ty = 14527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27967 / 14527 ti = "16/27967/14527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27967/14527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27967 ÷ 216
    27967 ÷ 65536     		x = 0.426742553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14527 ÷ 216
    14527 ÷ 65536     		y = 0.221664428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426742553710938 × 2 - 1) × π
    -0.146514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46029011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221664428710938 × 2 - 1) × π
    0.556671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74883397193889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46029011} λ = -0.46029011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74883397193889))-π/2
    2×atan(5.74789655832547)-π/2
    2×1.39854373792129-π/2
    2.79708747584258-1.57079632675     		φ = 1.22629115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46029011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.372681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22629115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.261307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27967 KachelY 14527 -0.46029011 1.22629115 -26.372681 70.261307
    Oben rechts KachelX + 1 27968 KachelY 14527 -0.46019424 1.22629115 -26.367188 70.261307
    Unten links KachelX 27967 KachelY + 1 14528 -0.46029011 1.22625877 -26.372681 70.259452
    Unten rechts KachelX + 1 27968 KachelY + 1 14528 -0.46019424 1.22625877 -26.367188 70.259452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22629115-1.22625877) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dl = 206.292979999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22629115-1.22625877) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dr = 206.292979999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46029011--0.46019424) × cos(1.22629115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337730969891363 × 6371000     		do = 206.281945959878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46029011--0.46019424) × cos(1.22625877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337761447152447 × 6371000     		du = 206.300561098212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22629115)-sin(1.22625877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337730969891363-0.337761447152447)×R²
    abs(-0.46019424--0.46029011)×3.04772610839055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04772610839055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04772610839055e-05×40589641000000     		ar = 42556.4374418096m²